Binomialkoeffizient < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Wie zeigt man mit elementaren Mitteln der Kombinatorik, dass [mm] $\vektor{n \\ k}$ [/mm] die Anzahl der Möglichkeiten ist, aus $n$ Elementen $k$ auszuwählen. |
Egal wo ich im Netz suche, oder in welchem Buch ich nachschlage, es steht immer sinngemäß soetwas wie, "... gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus n Elementen k auszuwählen..." aber nirgends steht eine Erklärung, oder ein Beweis.
Ist das zu trivial, oder völlig logisch?
Ich verstehe grundsätzlich, dass allein der Term $n*(n-1)*...*(n-k+1)$ sehr viele Doppelungen enthällt, und dass durch die Division von $k!$ diese kompensiert werden, aber woher weiß ich, dass das genau die Anzahl ist, die ich brauche?
lg Kai
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 Do 13.08.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
ISt dur kalr, dass man n Elemente auf n! verschiedenen Arten anorden kann?
Also kann man k Elemente aus den n Elementen aus [mm] \bruch{n!}{k!} [/mm] Elemente anordnen, soweit auch klar?
Und jetzt musst du dir überlegen, dass ich die "Restelemente", die ja noch "(n-k)-mal" vorahnden sind, auch mit (n-k)! Verschiedenen Anordnungen setzen kann
Und diese Infos musst du jetzt noch passend verarbeiten.
Marius
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Guten Abend,
> Hallo
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> ISt dur kalr, dass man n Elemente auf n! verschiedenen
> Arten anorden kann?
>
Klar, es gibt n! verschiedene n-Tupel, bestehent aus den gleichen Elementen, nur mit unterschiedlicher Reihenfolge.
> Also kann man k Elemente aus den n Elementen aus
> [mm]\bruch{n!}{k!}[/mm] Elemente anordnen, soweit auch klar?
>
Verstehe ich nicht. Weiß gar nicht was du meinst, sry...
> Und jetzt musst du dir überlegen, dass ich die
> "Restelemente", die ja noch "(n-k)-mal" vorahnden sind,
> auch mit (n-k)! Verschiedenen Anordnungen setzen kann
>
> Und diese Infos musst du jetzt noch passend verarbeiten.
>
> Marius
lg Kai
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:30 Fr 14.08.2009 | | Autor: | Andrey |
Ich weiß leider nicht so genau was "rein kombinatorisch" genau sein soll, hab nie Kombinatorik gehört. Ich versuch's mal so:
Man hat n! Möglichkeiten n Elemente auf n Plätzen zu verteilen. Die ersten k Plätze nehmen wir in die Teilmenge rein, die restlichen lassen wir draußen.
Wir betrachten Mengen. Also ist uns die Reihenfolge der Elemente in der Menge egal: also können wir die ersten k Elemente auf ersten k Plätzen auf k! Arten permutieren, und das alles zählt aber nur als _eine_ Menge, d.h. wir müssen n! durch k! teilen.
Ferner ist es uns egal, wie die (n-k) Elemente, die nicht in der Teilmenge sind, angeordnet sind. Also sehen wir alle (n-k)! mögliche permutationen als eine einzige möglichkeit, daher müssen wir unsere bisher geschätzte anzahl der möglichkeiten nochmal durch (n-k)! teilen, und erhalten insgesamt [mm] $\vektor{n\\k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}$.
[/mm]
Alternativ kann man das wirklich durch extrem elementares (aber nicht triviales) Abzählen der Elemente der Teilmengen beweisen. So wird es im Buch "![[]](/images/popup.gif) Lineare Algebra" von B. Huppert, W.Willems. gemacht. (<---Link nicht übersehen^^)
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