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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 So 23.10.2011 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Vervollständigen Sie:
[mm] $\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} n -1 \\ k \end{pmatrix} [/mm] + ...$
->Herleiten |
[mm] $\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} n -1 \\ k \end{pmatrix} [/mm] $
[mm] $\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$ [/mm] = [mm] $\frac [/mm] {n*(n-1)...*(n-k+1)}{1*2*...*k}$
[mm] $\begin{pmatrix} n -1 \\ k \end{pmatrix} [/mm] $ = [mm] $\frac [/mm] {(n-1)*(n-2)...*(n-1-k+1)}{1*2*...*k}$
Ist da schon was falsch? - Wahrscheinlich
Ich habe die Frage auf keinen anderen Forum gepostet!
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Hallo quasimo,
> Vervollständigen Sie:
> [mm]\begin{pmatrix} n \\
k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n -1 \\
k \end{pmatrix} + ...[/mm]
>
> ->Herleiten
>
>
> [mm]\begin{pmatrix} n \\
k \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} n -1 \\
k \end{pmatrix}[/mm]
Hää?
Es gilt [mm]\vektor{n\\
k}=\vektor{n-1\\
k}+\vektor{n-1\\
k-1}[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix} n \\
k \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\frac {n*(n-1)...*(n-k+1)}{1*2*...*k}[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix} n -1 \\
k \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\frac {(n-1)*(n-2)...*(n-1-k+1)}{1*2*...*k}[/mm]
>
> Ist da schon was falsch? - Wahrscheinlich
Nein, das ist richtig soweit
Schreibe [mm](n-1-k+1)=(n-k)[/mm]
Dann vergleiche nochmal! Wie kommst du von [mm]\vektor{n-1\\
k}[/mm] zu [mm]\vektor{n\\
k}[/mm] ?
>
> Ich habe die Frage auf keinen anderen Forum gepostet!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 So 23.10.2011 | | Autor: | quasimo |
Ja aber was gilt darf ich ja vor der herleitung nicht wissen sondern muss mir selbst herleiten.
$ [mm] \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} n -1 \\ k \end{pmatrix} [/mm] + ... $
Da hatte ich die [mm] $\begin{pmatrix} n -1 \\ k \end{pmatrix}$ [/mm] auf die andere Seite gebracht... dass darf man aber wahrscheinlich nicht bei Binomialkoeffizienten.
Ich versteh nicht genau, was ich jetzt machen soll. kannst du es mit Latex schreiben, dass ich verstehe - was du meinst!?
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Hallo nochmal,
> Ja aber was gilt darf ich ja vor der herleitung nicht
> wissen sondern muss mir selbst herleiten.
>
> [mm]\begin{pmatrix} n \\
k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n -1 \\
k \end{pmatrix} + ...[/mm]
>
> Da hatte ich die [mm]\begin{pmatrix} n -1 \\
k \end{pmatrix}[/mm]
> auf die andere Seite gebracht...
Aah, verstehe, das hättest du aber auch mal sagen sollen, zumal du gar keine rechte Seite mehr dastehen hast 
> dass darf man aber
> wahrscheinlich nicht bei Binomialkoeffizienten.
> Ich versteh nicht genau, was ich jetzt machen soll. kannst
> du es mit Latex schreiben, dass ich verstehe - was du
> meinst!?
Du bist doch auf dem richtigen Wege, du kannst ja - wie du es gemacht hast - schreiben [mm]\vektor{n\\
k}=\vektor{n-1\\
k}+x[/mm] mit dem noch zu bestimmenden x
Dann x isolieren: [mm]x=\vektor{n\\
k}-\vektor{n-1\\
k}[/mm]
Jetzt kannst du die Definition des Binomialkoeffizienten (wie oben) einsetzen und dann vereinfachen.
Tipp: Schreib's mal hin, dann kannst du "nett" ausklammern und siehst schon, worauf es hinausläuft ...
Mehr verrate ich nicht, denn es steht dann wirklich beinahne zum Ablesen da 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 So 23.10.2011 | | Autor: | quasimo |
uh, immer wenn wer sagt es ist so leicht - komm ich nicht drauf ..
$ [mm] \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} n -1 \\ k \end{pmatrix} [/mm] $ = x
x = $ [mm] \frac {n\cdot{}(n-1)...\cdot{}(n-k+1)}{1\cdot{}2\cdot{}...\cdot{}k} [/mm] - [mm] \frac {(n-1)\cdot{}(n-2)...\cdot{}(n-1-k+1)}{1\cdot{}2\cdot{}...\cdot{}k} [/mm] $
schön selbe Nenner. Die inmal + 1 und einmal -1 kann ich wegstreichen
x = $ [mm] \frac {n\cdot{}(n-1)...\cdot{}(n-k+1)}{1\cdot{}2\cdot{}...\cdot{}k} [/mm] - [mm] \frac {(n-1)\cdot{}(n-2)...\cdot{}(n-k)}{1\cdot{}2\cdot{}...\cdot{}k} [/mm] $
Ich weiß nicht wie ich hier subtrahiere? Es tut mir leid - aber grade sehe ich die Leichtigkeit nicht.- Wie nett ausklammern?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 So 23.10.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast die Binomialkoeffizienten falsch "ausgerechnet"
[mm] \begin{pmatrix} n \\
k \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} n -1 \\
k \end{pmatrix} [/mm]
[mm] =\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}-\frac{(n-1)!}{(n-1-k)!\cdot k!} [/mm]
[mm] =\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}-\frac{(n-1)!}{(n-k-1)!\cdot k!} [/mm]
[mm] =\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}-\frac{\green{(n-k)}(n-1)!}{\green{(n-k)}(n-k-1)!\cdot k!} [/mm]
[mm] =\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}-\frac{n\cdot(n-1)!-k\cdot(n-1)!}{(n-k)!\cdot k!} [/mm]
Jetzt kannst du die Brüche subtrahieren. Fasse dann weitestgehend zusammen.
Marius
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Hallo nochmal,
> uh, immer wenn wer sagt es ist so leicht - komm ich nicht
> drauf ..
>
> [mm]\begin{pmatrix} n \\
k \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} n -1 \\
k \end{pmatrix}[/mm]
> = x
>
> x = [mm]\frac {n\cdot{}(n-1)...\cdot{}(n-k+1)}{1\cdot{}2\cdot{}...\cdot{}k} - \frac {(n-1)\cdot{}(n-2)...\cdot{}(n-1-k+1)}{1\cdot{}2\cdot{}...\cdot{}k}[/mm]
Alles gut soweit, ich schreibe nun für den Nenner [mm]k![/mm] zur Abkürzung:
[mm]x=\frac{1}{k!}\cdot{}\left[n\red{(n-1)(n-2)...(n-k)(n-k+1)} \ - \ \red{(n-1)(n-2)...(n-k+1)}(n-k)}\right][/mm]
Nun kannst du das rote Zeug ausklammern:
[mm]x=\frac{1}{k!}\cdot{}\left[\red{(n-1)(n-2)...(n-k+1)}\cdot{}(n-(n-k))\right][/mm]
Nun ist der letzte Ausdruck [mm]=k[/mm]
Das kannst du gegen das [mm]k![/mm] kürzen zu [mm](k-1)![/mm]
Und den Rest [mm](n-1)(n-2)...(n-k+1)[/mm] kannst du schreiben als ...
Gruß
schachuzipus
>
> schön selbe Nenner. Die inmal + 1 und einmal -1 kann ich
> wegstreichen
> x = [mm]\frac {n\cdot{}(n-1)...\cdot{}(n-k+1)}{1\cdot{}2\cdot{}...\cdot{}k} - \frac {(n-1)\cdot{}(n-2)...\cdot{}(n-k)}{1\cdot{}2\cdot{}...\cdot{}k}[/mm]
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> Ich weiß nicht wie ich hier subtrahiere? Es tut mir leid -
> aber grade sehe ich die Leichtigkeit nicht.- Wie nett
> ausklammern?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 So 23.10.2011 | | Autor: | quasimo |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$ x=\frac{1}{k!}\cdot{}\left[n\red{(n-1)(n-2)...(n-k)(n-k+1)} \ - \ \red{(n-1)(n-2)...(n-k+1)}(n-k)}\right] $
Bist du dir sicher - dass hier alles stimmt?
Einmal steht, dass das letze Glied ist für den ersten Binomialkoeffizient:
(n - k + 1) und n -k ist doch kein Glied davor!? sondern wenn dahinter, da wir ja immer um 1 weniger werden...?
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Hallo nochmal,
> [mm]x=\frac{1}{k!}\cdot{}\left[n\red{(n-1)(n-2)...(n-k)(n-k+1)} \ - \ \red{(n-1)(n-2)...(n-k+1)}(n-k)}\right][/mm]
>
> Bist du dir sicher - dass hier alles stimmt?
> Einmal steht, dass das letze Glied ist für den ersten
> Binomialkoeffizient:
> (n - k + 1) und n -k ist doch kein Glied davor!? sondern
> wenn dahinter, da wir ja immer um 1 weniger werden...?
Ja, gut aufgepasst, da habe ich im ganzen copy&paste-Wahn mit den Farben den Faktor $(n-k)$ mit hereingenommen in den ersten Ausdruck in der Klammer, aber der geht nur von n bis n-k+1 runter.
Die Farbe sollte verdeutlichen, dass vom ersten Ausdruck ein n, vom zweiten ein n-k beim Ausklammern kommt ...
Streiche also im ersten Term das $(n-k)$ weg ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 So 23.10.2011 | | Autor: | quasimo |
das hab ich jetzt alles verstanden, gut!! ;))Riesen dankeschön schon jetzt mal!
(n-1) * (n-2).....* (n-k+1)=( n-1)! aber es fehlt noch n -k als letze glied...
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Hallo nochmal,
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> das hab ich jetzt alles verstanden, gut!! ;))Riesen
> dankeschön schon jetzt mal!
>
> (n-1) * (n-2).....* (n-k+1)=( n-1)!
Nein, das stimmt nicht, es ist doch [mm](n-1)!=(n-1)(n-2)...(n-k+1)(n-k)(n-k-1)...3\cdot{}2\cdot{}1[/mm]
> aber es fehlt noch n
> -k als letze glied...
Du hast doch nun insgesamt [mm]x=\frac{(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{(k-1)!}[/mm]
Also (noch deutlicher) [mm]x=\frac{(n-1)(n-2)...((n-1)-(k-1)+1)}{(k-1)(k-2)...3\cdot{}2\cdot{}1}[/mm]
Und das ist doch nur welcher Binomialkoeffizient ausgeschrieben?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 So 23.10.2011 | | Autor: | quasimo |
Hattest du nicht gesagt es gilt
$ [mm] \vektor{n\\ k}=\vektor{n-1\\ k}+\vektor{n-1\\ k-1} [/mm] $
also ist das oben die anzahl der anordnungen von k-1 Elementen einer n-1 elementigen Menge.
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Hallo quasimo,
> Hattest du nicht gesagt es gilt
> [mm]\vektor{n\\
k}=\vektor{n-1\\
k}+\vektor{n-1\\
k-1}[/mm]
Korrekt.
> also ist das oben die anzahl der anordnungen von k-1
> Elementen einer n-1 elementigen Menge.
Woraus hast Du das nun gefolgert? Aus der oben zitierten Gleichung?
schachuzipus hatte gefragt, welcher Binomialkoeffizient sich hinter diesem Produkt verbirgt:
[mm] x=\frac{(n-1)(n-2)...((n-1)-(k-1)+1)}{(k-1)(k-2)...3\cdot{}2\cdot{}1}
[/mm]
Die Antwort ist natürlich die gleiche, aber mach Dir noch einmal deutlich, wie Du an dieser Produktdarstellung den Binomialkoeffizienten ablesen kannst.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Mo 24.10.2011 | | Autor: | quasimo |
>>also ist das oben die anzahl der anordnungen von k-1
Elementen einer n-1 elementigen Menge.
>aus der oben zitierten Gleichung
Ja.
>> mach Dir noch einmal deutlich, wie Du an dieser Produktdarstellung den Binomialkoeffizienten ablesen kannst.
erste Glied ist doch n-1, und letze (n-1)-(k-1)+1)
k-1 weil wir ja nur k-1 elemente haben.
Aber wie soll ich was an den Binomialkoeffizient ablesen?
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Hallo nochmal,
> >>also ist das oben die anzahl der anordnungen von k-1
> Elementen einer n-1 elementigen Menge.
>
> >aus der oben zitierten Gleichung
> Ja.
>
> >> mach Dir noch einmal deutlich, wie Du an dieser
> Produktdarstellung den Binomialkoeffizienten ablesen
> kannst.
>
> erste Glied ist doch n-1, und letze (n-1)-(k-1)+1)
> k-1 weil wir ja nur k-1 elemente haben.
> Aber wie soll ich was an den Binomialkoeffizient ablesen?
Hmmm, "rettet dem Dativ"!
Es heißt "an dem Binomialkoeffizienten"
Gar nix, du sollst umgekehrt anhand der Produktdarstellung den zugehörigen BK ablesen!
Im Zähler stehen wieviele Faktoren? Von n-1 bis (n-1)-(k-1)+1
Nicht umsonst habe ich den letzten Faktor etwas "umständlich" geschrieben.
Stelle mal die allg. Def. des BK daneben [mm]\vektor{n\\
k}=\frac{\overbrace{n\cdot{}(n-1)\cdot{}\ldots\cdot{}(n-k+1)}^{\text{k Faktoren}}}{1\cdot{}2\cdot{}\ldots\cdot{}k}[/mm]
Jetzt aber ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Mo 24.10.2011 | | Autor: | quasimo |
Ja was du schreibst ist mir alles klar. Nur ich weiß nicht, was ich jetzt noch sagen/antworten soll.
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Hallo,
> Ja was du schreibst ist mir alles klar. Nur ich weiß
> nicht, was ich jetzt noch sagen/antworten soll.
Wenn Dir das klar ist, dann gibt es hier auch gerade nichts mehr zu sagen.
Bis zum nächsten Mal,
reverend
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