Binomialkoeffizient < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Do 10.01.2013 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Im Erdgeschoss eines 4 stöckigen Hauses betreten 12 Personen den Fahrstuhl.
a) In jedem stockwerk wird ldiglich gezählt, wie viel Personen aussteigen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es unter der Annahme, dass spätestens im obersten Stockwerk alle Personen aussteigen?
b) Wie ändert sich die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, wenn auch die Namen der Personen berücksichtigt werden? |
Hi Leute!
Meine Lösung zu a): [mm] $\mathbb [/mm] M = [mm] \binom{12}{4} [/mm] = 495$
Meine Lösung zu b): Ich verstehe die Frage nicht. Was haben die Namen der Personen damit zu tun in welchem Stockwerk sie aussteigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Do 10.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Im Erdgeschoss eines 4 stöckigen Hauses betreten 12
> Personen den Fahrstuhl.
>
> a) In jedem stockwerk wird ldiglich gezählt, wie viel
> Personen aussteigen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten
> gibt es unter der Annahme, dass spätestens im obersten
> Stockwerk alle Personen aussteigen?
>
> b) Wie ändert sich die Anzahl der verschiedenen
> Möglichkeiten, wenn auch die Namen der Personen
> berücksichtigt werden?
> Hi Leute!
>
> Meine Lösung zu a): [mm]\mathbb M = \binom{12}{4} = 495[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Die erste Person hat 4 Moeglichkeiten, die zweite auch, ..., die zwoelfte auch ...
>
> Meine Lösung zu b): Ich verstehe die Frage nicht. Was
> haben die Namen der Personen damit zu tun in welchem
> Stockwerk sie aussteigen?
Leuchtet mir auch nicht ein.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Do 10.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Könnte es dann so gehen:
[mm] \frac{12!}{4!} [/mm] = 19958400
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Hallo bandchef,
diese Aufgabe hast du - in beiden Fällen - völlig missverstanden.
Habt ihr den Begriff Partitionierung einer Menge bereits durchgenommen? Falls ja, dann wäre dies der Tipp für den Aufgabenteil a).
Bei b) ist es fast noch einfacher, und luis52 hat es dir eigentlich schon erklärt. Jede Person kann in einem beliebigen Stock aussteigen. Wie viele Möglichkeiten gibt es dann für jede Person? Wie viele insgesamt?
Stichwort hier: Variationen
Deine obige Rechnung jedenfalls ist falsch und es ist auch nicht ersichtlich, wie du darauf gekommen bist. Kommentiere so etwas in Zukunft auf jeden Fall besser, denn dann kann man ggf. auch Denkfehler konkret ansprechen, wovon du dann auch mehr profitieren würdest als von einer Antwort der Katregorie richtig/falsch.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Do 10.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Für Teilaufgabe a) lese ich mich in die Partitionierung von Mengen ein. Wir haben das so nicht durchgenommen.
Ich hätte gedacht b) macht keinen Sinn? Hat ja sogar luis52 geschrieben...
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Hallo,
> Ich hätte gedacht b) macht keinen Sinn? Hat ja sogar
> luis52 geschrieben...
da hat er sich getäuscht. Das mit den namen ist einfach so gedacht, dass die einzelnen Personen jetzt unterschieden werden, während vorher nur die Anzahl der Personen interessiert hat, die in jedem Stockwerk aussteigen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Do 10.01.2013 | | Autor: | bandchef |
zu b)
> Stichwort hier: Variationen
Ok. Dann würde ich das so sagen: [mm] $m=4^{12} = [/mm] 16777216$
Aber was nun mit den Namen gemeint ist, verstehe ich nach wie vor nicht so ganz... Soll das mit dem Namen ausdrücken, dass die Personen bei b) unterscheidbar sind wohingegen Sie es bei a) nicht waren?
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Hallo,
> zu b)
>
> > Stichwort hier: Variationen
>
>
> Ok. Dann würde ich das so sagen: [mm]m=4^{12} = 16777216[/mm]
richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber was nun mit den Namen gemeint ist, verstehe ich nach
> wie vor nicht so ganz... Soll das mit dem Namen
> ausdrücken, dass die Personen bei b) unterscheidbar sind
> wohingegen Sie es bei a) nicht waren?
Genau darum geht es.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:55 Fr 11.01.2013 | | Autor: | bandchef |
> Für Teilaufgabe a) lese ich mich in die Partitionierung von Mengen ein. Wir haben das so nicht durchgenommen.
Ich hab mich nun gestern und auch heute mal in diese Partition von Mengen eingelesen. Ich habe es zwar so grundsätzlich mal verstanden, aber in Bezug auf diese Aufgabe weiß ich nicht wie ich das anwenden soll.
Gibt es bei dieser Teilaufgabe a) wirklich nur diesen Weg über diese Partition? Ich kann es mir kaum vorstellen, da wir in der Vorlesung (die mittlerweile gelaufen ist!) diesen Stoff nicht behandelt haben und auch nicht mehr behandeln werden...
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Hallo bandchef,
> > Für Teilaufgabe a) lese ich mich in die Partitionierung
> von Mengen ein. Wir haben das so nicht durchgenommen.
>
> Ich hab mich nun gestern und auch heute mal in diese
> Partition von Mengen eingelesen. Ich habe es zwar so
> grundsätzlich mal verstanden, aber in Bezug auf diese
> Aufgabe weiß ich nicht wie ich das anwenden soll.
>
> Gibt es bei dieser Teilaufgabe a) wirklich nur diesen Weg
> über diese Partition? Ich kann es mir kaum vorstellen, da
> wir in der Vorlesung (die mittlerweile gelaufen ist!)
> diesen Stoff nicht behandelt haben und auch nicht mehr
> behandeln werden...
Ich sehe keinen anderen Weg. Allerdings kann man sich die Partitionierung recht leicht herleiten.
Hier geht es doch um die Frage, wieviele Möglichkeiten es gibt, die Zahl 12 in 4 Summanden aufzuteilen, wobei Summanden auch Null sein dürfen und es außerdem auf die Reihenfolge ankommt.
Stell Dir vor, Du legst 12 Scheiben nebeneinander, dazu noch 3 "Trenner", z.B. Streichhölzer. Der erste Summand ist die Zahl der Scheiben links neben dem ersten Trenner, die Zahl zwischen dem 1. und 2. Trenner ist der 2. Summand etc.
Du hast also 15 aufgereihte Objekte vor Dir und die Frage ist, wieviele Möglichkeiten es gibt, innerhalb dieser 15 die 3 "Trenner" zu platzieren. Das sind bekanntlich [mm] \vektor{15\\3}=455 [/mm] Möglichkeiten. Fertig.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Fr 11.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Oh, ist dann das nix anderes wie wenn ich quasi 4 aus 12 wähle was ja dann einfach der Binomialkoeffizient wäre.
Also: Die von dir angesprochenen Trenner sind die 4 Stöcke des Hauses. Die 12 Scheiben sind die 12 Fahrgäste im Aufzug. Da ich nun die Fahrgäste und die Stöcke nicht nebeneinander legen kann, ich aber denke, dass diese Aufgabe nach diesem Prinzip von dir gehört wäre meine Lösung für die Aufgab a):
$m = [mm] \binom{12+4}{4} [/mm] = 1820$
Soweit richtig?
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Hallo,
> Oh, ist dann das nix anderes wie wenn ich quasi 4 aus 12
> wähle was ja dann einfach der Binomialkoeffizient wäre.
Nur dass es eben nicht um 4 aus 12 geht.
> Also: Die von dir angesprochenen Trenner sind die 4 Stöcke
> des Hauses. Die 12 Scheiben sind die 12 Fahrgäste im
> Aufzug. Da ich nun die Fahrgäste und die Stöcke nicht
> nebeneinander legen kann, ich aber denke, dass diese
> Aufgabe nach diesem Prinzip von dir gehört wäre meine
> Lösung für die Aufgab a):
>
> [mm]m = \binom{12+4}{4} = 1820[/mm]
>
>
> Soweit richtig?
Nein. Jetzt hast Du 4 Trenner eingefügt. Soviele braucht man für 5 Summanden, hier also für 5 Stockwerke.
Die Lösung hatte ich doch in meinem letzten Post geschrieben:
[mm] m=\vektor{12+3\\3}=455
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Fr 11.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Oh achso, das war schon die Lösung...
Ich hab gedacht, dass die Lösung von dir ein neues konstruiertes Beispiel ist, damit ich verstehe was bei meiner Aufgabe los ist.
Nun gut. Ich verstehe ich es nicht so ganz wie du auf 3 kommst. Ich hab mir jetzt mal zur Verdeutlichung eine kleine Skizze in Form eines Hauses mit 4 Stöcken gemacht. Ich hab 4 Stöcke und dementsprechend auch 4 Trenner. Die Decke des Erdgeschosses bzw. Boden des 1. Stockes, die Decke des 1. Stockes bzw. der Boden des 2. Stockes, die Decke des 2 Stockes bzw. der Boden des 3. Stockes und die Decke 3. Stockes bzw. der Boden des 4. Stockes.
So komme ich auf 4...
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Hallo nochmal,
die Trenner haben räumlich absolut nichts mit dem Haus zu tun.
Hier geht es um eine ganz einfache Überlegung: wenn Du z.B. ein Maßband in zwei Teile zerschneiden willst, brauchst Du einen Schnitt und nicht zwei. Um es in vier Teile zu zerschneiden, brauchst Du drei Schnitte.
Letztlich ist das bei einem vierstöckigen Haus aber auch so. Da sind nur die drei Zwischendecken zwischen 1./2., 2./3. und 3./4. Etage (mal in amerikanischer Zählung ohne Erdgeschoss) interessant. Wenn man nun noch den Boden der 1. Etage dazunähme, hätte man einen Trenner eingefügt für etwas, das noch darunter liegen kann (Keller). Das kommt aber in dieser Aufgabe nicht vor.
Überleg Dir das nochmal in Ruhe, wie das mit den 12 Scheiben und den 3 Trennern geht und wieso damit alle 4 Summanden eindeutig bestimmt sind, auch etwaige Nullen.
Grüße
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 Fr 11.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Ja, ich hab dich mittlerweile verstanden. Um 4 Abschnitte zu erzeugen braucht man 3 Trenner. Das klingt logisch. Das einzige was ich eben nicht geschafft habe, war der Schritt, dass das Erdgeschoss nicht mitgezählt werden darf...
Danke, du hast mir wieder mal sehr geholfen 
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