Binomialkoeffizient und Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 So 23.10.2011 | | Autor: | Lunar |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_n)_ n\in\IN [/mm] die Folge definiert durch [mm] a_n [/mm] = (1+ [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] für alle n[mm] \ge [/mm] 1.
Zeigen Sie, dass [mm] {n \choose k} [/mm][mm] \bruch{1}{n^k} [/mm] < [mm] \bruch{1}{2^{k-1}} [/mm] für k [mm] \ge [/mm] 2 und folgern Sie, dass 2 [mm] \le [/mm] [mm] a_n [/mm] < 3 für alle n [mm] \ge [/mm] 1.
Schliessen Sie, dass die Folge [mm] (a_n)_ n\in\IN [/mm] konvergiert. |
Hallo Leute!
Habe bei dieser Aufgabe meine Schwierigkeiten.
Es fängt schon an beim Verrechnen des Binomialkoeffizients.
Ich kann da nirgends etwas verrechnen, damit ich es danach abschätzen könnte.
Da ich bei diesem Teil Mühe habe, fehlen mir die Ideen zu den verlangten Folgerungen.
Hat mir jemand einen Ansatz wie ich das auflösen kann?
Vielen Danke euch!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 So 23.10.2011 | | Autor: | Helbig |
Nach der binomischen Formel ist [mm] $a_n=\summe_{k=0}^n \bruch [/mm] 1 [mm] {n^k}{n\choose k}$.
[/mm]
Also [mm] $a_n= [/mm] 1 + 1 + [mm] \summe_{k=2}^n \bruch [/mm] 1 [mm] {n^k}{n\choose k}$. [/mm] Da die Summanden postiv sind, folgt schon mal [mm] $2\le a_n$ [/mm] für [mm] $1\le [/mm] n$.
Jetzt mußt Du nur noch die andere Abschätzung beweisen und erhältst dann über die geometrische Summe [mm] $a_n [/mm] < 3$.
Damit ist die Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] nach oben beschränkt. Wenn Du jetzt noch zeigst, daß sie monoton steigend ist, bist Du fertig.
OK?
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 So 23.10.2011 | | Autor: | Lunar |
Hallo Wolfgang!
eine kurze Rückfrage.
Nach der binomischen Formel ist [mm]a_n=\summe_{k=0}^n \bruch 1 {n^k}{n\choose k}[/mm].
Wie kommst du auf diese Formel?
Und warum kann ich dann 1 + 1 vor das Summenzeichen nehmen?
Danke für deine Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 So 23.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo Wolfgang!
>
> eine kurze Rückfrage.
>
> Nach der binomischen Formel ist [mm]a_n=\summe_{k=0}^n \bruch 1 {n^k}{n\choose k}[/mm].
Fuer $k = 0$ ist [mm] $\frac{1}{n^k} \binom{n}{k} [/mm] = 1$.
Weiterhin ist fuer $k = 1$ [mm] $\frac{1}{n^k} \binom{n}{k} [/mm] = [mm] \frac{1}{n} \cdot [/mm] n = 1$.
Wenn du das mit [mm] $a_n [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n \frac{1}{n^k} \binom{n}{k}$ [/mm] kombinierst, erhaelst du die Formel die Wolfgang hingeschrieben hatte.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 So 23.10.2011 | | Autor: | Lunar |
Hmm, das ist mir jetzt klar. Aber wie steht das in Verbindung mit
[mm] {n\choose k}\bruch{1}{n^k} [/mm] < [mm] \bruch{1}{2^{k-1}}
[/mm]
Muss ich nicht das gegeneinander abschätzen um auf die Folgerung zu kommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 So 23.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hmm, das ist mir jetzt klar. Aber wie steht das in
> Verbindung mit
>
> [mm]{n\choose k}\bruch{1}{n^k}[/mm] < [mm]\bruch{1}{2^{k-1}}[/mm]
>
> Muss ich nicht das gegeneinander abschätzen um auf die
> Folgerung zu kommen?
Na, wenn [mm] $x_i [/mm] < [mm] y_i$ [/mm] gilt fuer alle $i [mm] \ge [/mm] 2$, dann ist $2 + [mm] \sum_{i=2}^n x_i [/mm] < 2 + [mm] \sum_{i=2}^n y_i$.
[/mm]
LG Felix
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Hallo Lunar,
die Ungleichung mit dem Binomialkoeffizienten könnte man so angehen:
> Zeigen Sie, dass [mm]{n \choose k} [/mm][mm] \bruch{1}{n^k}[/mm] < [mm]\bruch{1}{2^{k-1}}[/mm] für k [mm]\ge[/mm] 2
>
> Hallo Leute!
> Habe bei dieser Aufgabe meine Schwierigkeiten.
> Es fängt schon an beim Verrechnen des
> Binomialkoeffizients.
> Ich kann da nirgends etwas verrechnen, damit ich es danach
> abschätzen könnte.
Ich forme die Ungleichung erst einmal um:
[mm] \vektor{n\\k}*\bruch{1}{n^k}<\bruch{1}{2^{k-1}}\quad\gdw\quad \vektor{n\\k}<\bruch{n^k}{2^{k-1}}\quad\gdw\quad \bruch{1}{2}\vektor{n\\k}<\left(\bruch{n}{2}\right)^k
[/mm]
Soweit klar?
Nun weißt Du sicher die Definition des Binomialkoeffizienten, aber auch, dass man ihn so schreiben kann, dass in Zähler und Nenner je k Faktoren stehen. Ich löse ihn in der Ungleichung mal so auf, erst mal "unsauber", weil es so leichter zu verstehen ist. Dann ordne ich um. Also so:
[mm] \cdots\gdw\quad \blue{\bruch{1}{2}}*\bruch{n*(n-1)*\cdots*(n-k+2)*(n-k+1)}{1*2*\cdots*(k-1)*k}=\blue{\bruch{1}{2}}*\bruch{n*(n-1)*\cdots*(n-k+2)*(n-k+1)}{k*(k-1)*\cdots*2*1}=\cdots
[/mm]
Wir sind hier noch ganz auf der linken Seite der Ungleichung, die man sauber so schreiben müsste:
[mm] \cdots=\blue{\bruch{1}{2}}*\bruch{\produkt_{j=1}^{k}(n-j+1)}{\produkt_{j=1}^{k}(k-j+1)}=\blue{\bruch{1}{2}}*\produkt_{j=1}^{k}\bruch{n-j+1}{k-j+1}\blue{<\left(\bruch{n}{2}\right)^k}\quad\gdw\quad \bruch{1}{2}<\produkt_{j=1}^{k}\bruch{(k-j+1)*n}{(n-j+1)*2}
[/mm]
So.
Jetzt gilt es, das Produkt auf der rechten Seite zu untersuchen.
Es genügt allerdings zu zeigen, dass für [mm] k\ge{2} [/mm] und [mm] n\ge{k} [/mm] sowie [mm] 1\le j\le{k} [/mm] immer gilt:
[mm] \bruch{n(k-j+1)}{2(n-j+1)}\ge{1}
[/mm]
Jetzt Du.
Grüße
reverend
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