Binomialkoeffizienten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Di 14.09.2010 | | Autor: | Hejo |
| Aufgabe 1 | Folgende Aussagen sollen gezeigt werden:
(i) [mm] \vektor{m \\ k}=\vektor{m \\ m-k}
[/mm]
(ii) [mm] \vektor{m+1 \\ k+1}=\vektor{m \\ k+1}+\vektor{m \\ k}
[/mm]
(iii) [mm] \vektor{m \\ k} \in \IN [/mm] |
| Aufgabe 2 | Es sei [mm] n\in \IN. [/mm] Zeigen Sie:
(i) Für [mm] a,b\in\IR [/mm] gilt:
[mm] (a+b)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}a^kb^{n-k}
[/mm]
Diese Aussage bezeichnet man als den binomischen Lehrsatz.
(ii) Für [mm] k\in [/mm] {0,...,n} gilt [mm] \vektor{n \\ k} \le 2^n [/mm] |
| Aufgabe 3 | (i) Zeigen Sie, dass sich jede ungerade Zahl [mm] n\ge3 [/mm] als Differenz von zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen darstellen lässt.
(ii) Bestimmen Sie die Darstellungen der Zahlen 15, 19, 27 als Differenz von zwei (nicht notwendigerweise aufeinanderfolgenden) Quadratzahlen.
Bemerkung: Geben Sie ein Argument an, warum Sie wirklich alle Darstellungen gefunden haben.
(iii)Zeigen Sie, dass eine ungerade Zahl [mm] n\ge3 [/mm] genau dann eine Primzahl ist, wenn Sie nur eine Darstellung als Differenz von zwei Quadratzahlen besitzt. |
Hey Leute:)
ich muss diese Aufgaben bis morgen für meinen Mathevorkurs lösen und habe absolut keinen Plan (weil noch nie gemachtl)
Wenn ihr mir für die Aufgaben ein paar ansätze liefert bin ich sicher, dass wir es zusammen hinbekommen, also ich mit eurer Hilfe;)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Di 14.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hejo!
Verwende die Definition des  Binomialkoeffizienten und fasse anschließend zusammen.
[mm]\vektor{n\\
k} \ = \ \bruch{n!}{k!*(n-k)!}[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Di 14.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hejo!
Bitte stelle (zumindest in Zukunft) unterschiedliche und eigenständige Aufgaben in jeweils eigenen Threads.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Di 14.09.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Für Aufgabe 1 i und ii: Beachte dafür nur das, was Loddar schrieb.
Für 1 iii: Nutze dafür die Erkenntnis aus 1 ii) und beachte, dass [mm] \vektor{n \\ 0}=1 \in \IN [/mm] ist (und die Summe zweier natürlicher Zahlen wieder natürlich ist).
Zu 2 i: Vollständige Induktion.
2 ii: Hier soll es sicher [mm] \le [/mm] heißen statt [mm] \ge [/mm] . Nutze dafür, dass [mm] 2^n=\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] ist (folge aus 2 i).
Zu 3 i: Schau dir mal die Differenz zweier beliebiger aufeinanderfolgender Quadratzahlen an. Also z.B. [mm] n^2 [/mm] und [mm] (n+1)^2.
[/mm]
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Hejo |
Morgen!
Funktioniert das überhaupt so:
[mm] \vektor{m \\ k}=\vektor{m \\ m-k}
[/mm]
[mm] \bruch{m!}{(m-k)!k!}=\bruch{m!}{m!-(m-k)!k!}
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Morgen!
>
> Funktioniert das überhaupt so:
>
> [mm]\vektor{m \\
k}=\vektor{m \\
m-k}[/mm]
>
> [mm]\bruch{m!}{(m-k)!k!}=\bruch{m!}{m!-(m-k)!k!}[/mm]
Hallo,
nicht ganz...
Nach Definition des Binomialkoeffizienten ist
[mm] \vektor{m\\k}=\bruch{m!}{(m-k)!k!}
[/mm]
und
[mm] \vektor{m\\m-k}=\bruch{m!}{[m-(m-k)]!(m-k)!} [/mm] =...
(Beachte den Unterschied zu dem von Dir Geschriebenen und überlege Dir, warum meins richtig ist.)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Hejo |
Hi
Weil für das k das (m-k) eingesetzt wird richtig!?
also
zu(i)
[mm] \vektor{m \\ k}=\vektor{m \\ m-k}
[/mm]
[mm] \bruch{m!}{(m-k)!k!}=\bruch{m!}{[m-(m-k)]![m-k]!}
[/mm]
[mm] =\bruch{m!}{k!(m-k)!}
[/mm]
[mm] =\bruch{m!}{(m-k)!k!}
[/mm]
zu(ii)
[mm] =\bruch{(m+1)!}{((m+1)-(k+1))!(k+1)!}=\bruch{m!}{(m-(k+1))!(k+1)!}+\bruch{m!}{(m-k)!k!}
[/mm]
[mm] =\bruch{(m+1)!}{((m+1)-(k+1))!}*\bruch{1}{(k-1)!}=\bruch{m!}{(m-(k+1))!}*\bruch{1}{(k-1)!}+\bruch{m!}{(m-k)!k!}
[/mm]
weiter komm ich nich:(
|
|
|
| |
|
Hallo!
> Hi
> Weil für das k das (m-k) eingesetzt wird richtig!?
>
> also
> zu(i)
Zu zeigen:
>
> [mm]\vektor{m \\
k}=\vektor{m \\
m-k}[/mm]
Beweis:
Es ist [mm] \vektor{m\\k}=
[/mm]
[mm]> \bruch{m!}{[m-(m-k)]![m-k]!}[/mm]
und
[mm] \vektor{m\\m-k}
[/mm]
> [mm]=\bruch{m!}{[m-(m-k)]![m-k]!}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{m!}{k!(m-k)!}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{m!}{(m-k)!k!}[/mm]
[mm] =\vektor{m\\m-k}
[/mm]
>
> zu(ii)
Zu zeigen:
[mm] \vektor{m+1\\k+1}=\vektor{m\\k+1}+\vektor{m\\k}
[/mm]
Beweis:
Geh' lieber so vor, daß Du die rechte und linke Seite getrennt umformst.
Es ist
[mm] \vektor{m+1\\k+1}=
[/mm]
[mm]> =\bruch{(m+1)!}{((m+1)-(k+1))!(k+1)!}=\bruch{(m+1)!}{(m-k)!(k+1)!}[/mm]
und es ist
[mm] \vektor{m\\k+1}+\vektor{m\\k}
[/mm]
> [mm] =\bruch{m!}{(m-(k+1))!(k+1)!}+\bruch{m!}{(m-k)!k!}
[/mm]
[mm] =\bruch{m!}{(m-k-1)!(k+1)!}+\bruch{m!}{(m-k)!k!}
[/mm]
Bedenke nun, daß
(m-k-1)!*(m-k)=(m-k)! und
k!(k+1)=(k+1)!,
und bring die beiden Brüche auf den gemeinsamen Nenner (m-k)!(k+1)!.
Überlege nun, ob Du im Zähler womöglich (m+1)! stehen hast.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Hejo |
>(m-k-1)!*(m-k)=(m-k)!
kannst du mir einen kleinen überblick über die rechengesetze bei fakultäten geben. das mit dem k+1 steht ja bei mir im tafelwerk aber das mit dem "minus"...
|
|
|
| |
|
Hi du brauchst bei der Aufgabe im Prinzip nur:
[mm](m+1)!=m!(m+1)[/mm]
und
[mm](m-k)!=(m-k-1)!(m-k)[/mm]
Du kannst dir $n!$ auf schreiben: [mm] $n!=1*2*3*\ldots [/mm] * (n-1)*n$
zum Beispiel ist $n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!$
Somit gilt auch:
[mm] $(m-k)!=\underbrace{\underbrace{1*2*3*\ldots (m-k-3)*(m-k-2)}_{(m-k-2)!}*(m-k-1)}_{(m-k-1)!}*(m-k)$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Hejo |
eure tipps haben mir sehr geholfen danke!
zu 2 i
ich weiß nicht, wenn ich die induktionsverankerung mit eins mache, was ich für k einsetzen muss (n ist ja 1)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Mi 15.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> eure tipps haben mir sehr geholfen danke!
>
> zu 2 i
>
> ich weiß nicht, wenn ich die induktionsverankerung mit
> eins mache, was ich für k einsetzen muss (n ist ja 1)
Zeige: [mm] \vektor{1 \\ k}\le2 [/mm] für k=0 und für k=1.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Hejo |
oh ich meinte die Aufgabe 2 i
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Mi 15.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> oh ich meinte die Aufgabe 2 i
Die gibts 2 mal !
Zeige:
$ [mm] a+b=\summe_{k=0}^{1}\vektor{1 \\ k}a^kb^{1-k} [/mm] $
FRED
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Hejo |
Für n=1
[mm] a+b=\summe_{k=0}^{1}\vektor{1 \\ k}a^kb^{1-k}
[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ k} [/mm] =1 wegen n,k [mm] \in \IN; [/mm] k [mm] \le [/mm] n
[mm] a+b=\summe_{k=0}^{1}a^kb^{1-k}
[/mm]
[mm] a+b=\summe_{k=0}^{1}a^k\bruch{1}{b^k}b
[/mm]
[mm] a+b=\summe_{k=0}^{1}(\bruch{a}{b})^kb
[/mm]
[mm] \bruch{a+b}{b}=\summe_{k=0}^{1}(\bruch{a}{b})^k
[/mm]
[mm] \bruch{(a+b)(1+\bruch{a}{b})}{b(1+\bruch{a}{b})}=\bruch{(a+b)(1+\bruch{a}{b})}{a+b}=\bruch{a}{b}+1=\summe_{k=0}^{1}(\bruch{a}{b})^k
[/mm]
[mm] a+b=b(\bruch{a}{b}+1)=a+b
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n \\ k}a^kb^{n-k}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}a^kb^{n-k}+\vektor{n+1 \\ k}a^kb^{n-k+1}
[/mm]
[mm] (a+b)^n+\vektor{n+1 \\ k}a^kb^{n-k+1}=(a+b)^{n+1}
[/mm]
[mm] (a+b)^n+\vektor{n+1 \\ k}\vektor{a \\ b}^kb^{n+1}=(a+b)^{n+1}
[/mm]
hier weiß ich nich weiter...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Hejo |
kann mir niemand weiterhelfen ??? :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:12 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Hejo |
wie kann ich die linke seite der gleichung so umformen, dass ich das was auf der rechten seite der gleichung steht habe
[mm] (a+b)^n+\vektor{n+1 \\ k}\vektor{a \\ b}^kb^{n+1}=(a+b)^{n+1}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:10 Do 16.09.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> wie kann ich die linke seite der gleichung so umformen,
> dass ich das was auf der rechten seite der gleichung steht
> habe
>
> [mm](a+b)^n+\vektor{n+1 \\
k}\vektor{a \\
b}^kb^{n+1}=(a+b)^{n+1}[/mm]
Ich befürchte, das kann niemand, weil es falsch ist. Was ist z.B. [mm] \vektor{p\\q}^{k}? [/mm] Aber dazu auch die andere Antwort.
>
>
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:07 Do 16.09.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
>
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n \\
k}a^kb^{n-k}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\
k}a^kb^{n-k}+\vektor{n+1 \\
k}a^kb^{n-k+1}[/mm]
Hier hast du den Fehler drin.
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n\\k}a^{k}b^{n-k}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}a^{k}b^{n-k}+\summe_{k=n+1}^{n+1}\vektor{n\\k}a^{k}b^{n-k}
[/mm]
[mm] =(a+b)^{n}+\left(\vektor{n\\n+1}a^{n+1}b^{n-(n+1)}\right)
[/mm]
Marius
|
|
|
|
