Binomialvert.-Normalverteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine große Lotteriegesellschaft verkauft 50000 Lose, davon sind 5000 Gewinnlose. Eine Frau kauft 100 Lose.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Frau höchstens 4 Gewinnlose unter den 100 gekauften Losen vorfindet, unter Zuhilfenahme einer binomialverteilten Zufallsvariable.
b)Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Frau höchstens 4 Gewinnlose unter den 100 gekauften Losen vorfindet, unter Zuhilfenahme einer normalverteilten Zufallsvariable. Rechne mit Stetigkeitskorrektur!
c)Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Frau höchstens 4 Gewinnlose unter den 100 gekauften Losen vorfindet, unter Zuhilfenahme einer normalverteilten Zufallsvariable. Rechne ohne Stetigkeitskorrektur!
d)Die exakte Wahrscheinlichkeit, dass die Frau höchstens 4 Gewinnlose unter den 100 gekauften Losen vorfindet,beträgt 0,02010765....
Der Aufwand zur Berechnung dieses exakten Wertes ist extrem hoch (mindestens fünf Summanden, welche aus Produkten bestehen, die jeweils mindestens 100 Faktoren enthalten). Vergleiche die unter a), b) und c) verwendeten Methoden hinsichtlich Arbeitsaufwand und Genauigkeit der Ergebnisse! Welche Methode würdest du empfehlen? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich bin Lehrer, das oben zitierte Beispiel stammt von mir. Heute wurde dieses Beispiel von meiner Schülern (12. Schulstufe) bearbeitet.
Heraus gekommen iist ein von mir eher unerwünschtes Resultat (ich hatte in der Vorbereitung etwas schlampig gearbeitet):
Die Normalverteilung ohne Stetigkeitskorrektur liefert ein besseres Ergebnis (0,0228) als mit Stetigkeitskorrektur (0,0336), ja sogar ein besseres als die Binomialverteilung (0,23711). Details siehe unten.
Daher meine Frage: Ist ein Rechenfehler passiert (glaube ich eher nicht)? Falls nein, wie erkläre ich am besten diese unerwarteten Ergebnisse? Lässt sich das Beispiel in meinem Sinn noch retten (BV aufwendiger als NV, dafür genauer, NV ohne Stetigkeitskorrektur bei kleiner Standardabweichung im Allgemeinen sehr ungenau)? Vielen Dank für Eure Antwort und Hilfe!
Umberto
BV: [mm] P(X\le4)=0,0237111
[/mm]
NV mit Stetigkeitskorrektur: [mm] P(X(BV)\le4)=P(X(NV)\le4,5)=P(Z\le-1,83)=0,0336
[/mm]
NV ohne Stetigkeitskorrektur: [mm] P(X\le4)=P(Z\le-2)=0,0228
[/mm]
(Berechnung NV mit Hilfe von Tabellen ohne Computer)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:10 Mo 22.12.2008 | | Autor: | umberto79 |
Habe die Frage nun noch in ein anderes Forum gestellt, jedoch noch keine Antwort erhalten. Bitte dennoch um Hilfe!
http://matheplanet.com/default3.html?call=viewforum.php?forum=-2&ref=http://www.google.at/search?hlX=de%26qX=mathe+forum%26metaX=
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Ciao Umberto,
Ich bekomme, ebenfalls mittels Tabelle der Normalvertei-
lung, ziemlich genau die gleichen Werte wie du.
Bei NV mit SK habe ich noch interpoliert und finde 0.0334.
An Rechenfehlern liegt es also nicht.
Nach der Faustregel $\ [mm] n*p*q\ge [/mm] 9$ für eine einigermassen
akzeptable Genauigkeit der Approximation der Binomial-
durch die Normalverteilung ist man gerade knapp an der
Grenze.
Hauptgrund für die beim Vergleich etwas erstaunlichen
Ergebnisse sehe ich in folgenden zwei Punkten:
1.) Auch die "Stetigkeitskorrektur" ist natürlich bei
kleiner Varianz eine etwas heikle Angelegenheit, weil
die Säulen des Binomialverteilungsdiagramms in dem
Bereich um x=4 herum noch stark anwachsen.
2.) In Tat und Wahrheit handelt es sich ja auch nicht
wirklich um eine Binomialverteilung, da die Ziehung
der Lose ohne Zurücklegen erfolgt. Dadurch wird die
Wahrscheinlichkeit für maximal 4 Gewinnlose gegenüber
einer Ziehung mit Zurücklegen etwas kleiner.
Wenn du also deinen Schülern die Normalverteilung
als Approximation der BV in Zukunft mit besseren
Argumenten "verkaufen" willst, solltest du Beispiele
nehmen, wo $\ n*p*q$ erheblich grösser als 9 ist.
Dass man beim Erfinden neuer Aufgaben manchmal
Überraschungen erlebt, ist mir wohlbekannt. Hie und
da bemerkte ich so etwas erst, wenn ich vor der Klasse
stand. Wenn ich dann in einen gewissen Erklärungsnot-
stand kam, nahm ich das meist recht gelassen. Erstens
gönnte ich den Schülern die Freude, mich auch einmal
echt rätselnd zu erleben als einer, der nicht einfach
"alles schon weiss". Aus der Nachbetrachtung solcher
Beispiele ergaben sich auch manchmal sehr lebendige
und kreative Unterrichtssituationen.
LG al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 Mo 22.12.2008 | | Autor: | umberto79 |
Vielen Dank für deine Mühe und deine Antwort. Tröstet mich etwas!
Würde mich sehr freuen, wenn sich noch andere User mit meiner Frage beschäftigen könnten (dass kein Rechenfehler vorliegt, scheint jetzt erwiesen zu sein).
LG, Umberto
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Ist es etwa generell so, dass die NV "in der Mitte" die BV besser approximiert als "am Rand"?
LG Umberto
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:26 Di 23.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Di 23.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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