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Forum "Uni-Stochastik" - Binomialverteilung
Binomialverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Binomialverteilung: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:42 Sa 19.07.2014
Autor: ATDT

Aufgabe
Es seien X, Y unabhängige Zufallsvariable, wobei X [mm] Bin(2,\bruch{1}{3})-verteilt [/mm] und Y Bin(2, [mm] \bruch{2}{3})-verteilt [/mm] sei. Bestimmen Sie die Verteilung von X + Y und zeichnen Sie die Verteilungsfunktion. Berechnen Sie E(X + Y) und Var(X + Y).

Liebe Forenteilnehmer,

heute geht es um die Binomialverteilung. Die Berechnung von E(X + Y) und Var(X + Y) ist für unabhängige Zufallsvariablen folgerndermaßen zulässig:

E(X + Y) = E(X) + E(Y)
sowie
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)

Weiterhin gilt für die Binomialverteilung:
E(X) = n*p
und Var(X) = n*p*q

Somit kann ich den Erwartungswert als auch die Varianz durch Anwendung der Formel einfach ausrechnen oder?

E(X) = 2 * [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} [/mm]

E(Y) = 2 * [mm] \bruch{2}{3} [/mm] = [mm] \bruch{4}{3} [/mm]

E(X + Y) = [mm] \bruch{2}{3} [/mm] + [mm] \bruch{4}{3} [/mm] = [mm] \bruch{6}{3} [/mm] = 2

und

Var(X) = 2 * [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{2}{3} [/mm] = [mm] \bruch{4}{9} [/mm]

Var(Y) = 2 * [mm] \bruch{2}{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{4}{9} [/mm]

Var(X + Y) = [mm] \bruch{4}{9} [/mm] + [mm] \bruch{4}{9} [/mm] = [mm] \bruch{8}{9} [/mm]

soweit richtig?

Besten Dank im Voraus! Ich muss dem Forum meinen Dank ausprechen.

        
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Binomialverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:43 Sa 19.07.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


Sieht gut aus, aber beachte, dass die Linearität vom Erwart-
ungswert auch für abhängige Zufallsvariablen zulässig ist.
Beim Erwartungswert ergibt sich, falls die Zufallsvariablen
unabhängig sind, eine weitere Eigenschaft (Welche?).

Eigentlich sollst du aber zunächst die Verteilung von [mm] $X+Y\$ [/mm]
berechnen und dann damit weiterrechnen.

Was ist denn die Verteilung von [mm] $X+Y\$? [/mm]

Tipp: Faltungssatz.


Gruß
DieAcht

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Binomialverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:14 Sa 19.07.2014
Autor: ATDT


>  
> Eigentlich sollst du aber zunächst die Verteilung von
> [mm]X+Y\[/mm]
>  berechnen und dann damit weiterrechnen.
>  
> Was ist denn die Verteilung von [mm]X+Y\[/mm]die ?

Die Verteilung von (X + Y) wäre dann (4, 1)?


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Binomialverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:39 Sa 19.07.2014
Autor: luis52


> Die Verteilung von (X + Y) wäre dann (4, 1)?
>  

Was ist denn das fuer eine putzige Verteilung?

Uberlege dir, welche Werte $z$ die Zufallsvariable $X+Y$ annehmen kann, und berechne $P(X+Y=z)$ fuer alle moeglichen $z$.


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Binomialverteilung: Versuch
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:27 Mo 21.07.2014
Autor: ATDT

P(X [mm] \le [/mm] x) = [mm] \summe_{k=0}^{2} \vektor{n \\ k} [/mm] * [mm] p^k [/mm] * [mm] (1-p)^n-k [/mm]

P(X [mm] \le [/mm] 2) = [mm] \underbrace{\vektor{2 \\ 0} * (\bruch{1}{3})^0 * (1-\bruch{1}{3})^{2-0}}_{= P(X=0)} [/mm] + [mm] \underbrace{\vektor{2 \\ 1} * (\bruch{1}{3})^1 * (1-\bruch{1}{3})^{2-1}}_{= P(X=1)} [/mm] + [mm] \underbrace{\vektor{2 \\ 2} * (\bruch{1}{3})^2 * (1-\bruch{1}{3})^{2-2}}_{= P(X=2)} [/mm]

P(X = 0) = [mm] \vektor{2 \\ 0} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{3})^0 [/mm] * [mm] (1-\bruch{1}{3})^{2-0} [/mm] = [mm] \bruch{4}{9} [/mm]

P(X = 1) = [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{3})^1 [/mm] * [mm] (1-\bruch{1}{3})^{2-1} [/mm] = [mm] \bruch{4}{9} [/mm]

P(X = 2) = [mm] \vektor{2 \\ 2} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{3})^2 [/mm] * [mm] (1-\bruch{1}{3})^{2-2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{9} [/mm]

P(Y [mm] \le [/mm] 2) = [mm] \underbrace{\vektor{2 \\ 0} * (\bruch{2}{3})^0 * (1-\bruch{2}{3})^{2-0}}_{= P(Y=0)} [/mm] + [mm] \underbrace{\vektor{2 \\ 1} * (\bruch{2}{3})^1 * (1-\bruch{2}{3})^{2-1}}_{= P(Y=1)} [/mm] + [mm] \underbrace{\vektor{2 \\ 2} * (\bruch{2}{3})^2 * (1-\bruch{2}{3})^{2-2}}_{= P(Y=2)} [/mm]

P(Y = 0) = [mm] \vektor{2 \\ 0} [/mm] * [mm] (\bruch{2}{3})^0 [/mm] * [mm] (1-\bruch{2}{3})^{2-0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{9} [/mm]

P(Y = 1) = [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] * [mm] (\bruch{2}{3})^1 [/mm] * [mm] (1-\bruch{2}{3})^{2-1} [/mm] = [mm] \bruch{4}{9} [/mm]

P(Y = 2) = [mm] \vektor{2 \\ 2} [/mm] * [mm] (\bruch{2}{3})^2 [/mm] * [mm] (1-\bruch{2}{3})^{2-2} [/mm] = [mm] \bruch{4}{9} [/mm]

[mm] P(X_{0} [/mm] + [mm] Y_{0}) [/mm] = [mm] \bruch{4}{9} [/mm] + [mm] \bruch{1}{9} [/mm] = [mm] \bruch{5}{9} [/mm]

[mm] P(X_{1} [/mm] + [mm] Y_{1}) [/mm] = [mm] \bruch{4}{9} [/mm] + [mm] \bruch{4}{9} [/mm] = [mm] \bruch{8}{9} [/mm]

[mm] P(X_{2} [/mm] + [mm] Y_{2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{9} [/mm] + [mm] \bruch{4}{9} [/mm] = [mm] \bruch{5}{9} [/mm]

Ist das der richtige Weg? Danke euch allen! Und wie errechnet sich der Erwartungswert E(X + Y)? Muss ich jeweils die einzelnen Wahrscheinlichkeiten von [mm] X_{0} [/mm] bis [mm] X_{2} [/mm] summieren und daraus den Erwartungswert / Varianz errechnen? und dann analog für Y vorgehen?



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Binomialverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:11 Mo 21.07.2014
Autor: Teufel

Hi!

Dieser Weg ist sehr aufwendig, aber für dieses kleine Beispiel kann man das auch so machen.

Du willst die Verteilung von $X+Y$ berechnen. Dazu musst du wissen, wie $P(X+Y=k)$ aussieht für alle Werte $k$, die die Summe $X+Y$ annehmen kann. Welche Werte kann $X+Y$ annehmen?

Nehmen wir z.B. k=0. Wie kannst du $P(X+Y=0)$ ausrechnen? Die Summe ist genau dann 0, wenn $X=0$ und $Y=0$ sind, also $P(X+Y=0)=P(X=0, Y=0)=P(X=0)P(Y=0)$ (warum gilt der letzte Schritt?). Die Werte von $P(X=0)$ und $P(Y=0)$ hast du ja schon selber berechnet.

Dann weiter für $P(X+Y=1)$. Hierzu könnte $X=0$ und $Y=1$ oder $X=1$ und $Y=0$ sein. Also [mm] $P(X+Y=1)=P(\{X=0,Y=1\}\cup\{X=1,Y=0\})=...$. [/mm] Nun du.

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Binomialverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:52 Mo 21.07.2014
Autor: luis52


> Und wie
> errechnet sich der Erwartungswert E(X + Y)? Muss ich
> jeweils die einzelnen Wahrscheinlichkeiten von [mm]X_{0}[/mm] bis
> [mm]X_{2}[/mm] summieren und daraus den Erwartungswert / Varianz
> errechnen? und dann analog für Y vorgehen?

Wieso das? Du hast doch die Verteilung von $Z=X+Y$ bestimmt. Und wie man die Erwartungswert bzw. die Varianz des diskret verteilten $Z$ berechnet, wirst du doch wissen, oder? Du wirst ueberrascht sein, sie stimmen mit den Ergebnissen deines ersten Postings ueberein.
  
  


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Binomialverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Sa 19.07.2014
Autor: DieAcht

Alternativ benutz doch meinen Tipp:

Seien [mm] $X\$ [/mm] und [mm] $Y\$ [/mm] unabhängige Zufallsvariablen mit Dichten
[mm] $f\$ [/mm] und [mm] $g\$, [/mm] dann hat [mm] $X+Y\$ [/mm] die Dichte [mm] $f\star g\$. [/mm]

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