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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Sa 18.07.2009 | | Autor: | Nickles |
| Aufgabe | Es sei bekannt, dass 17% der Passagiere einer Fluglinie, die eine bestimmte Route gebucht haben, nicht zum Abflug erscheinen.Um die Zahl der leeren Plätze klein zu halten, werden daher für einen Jet mir 200 Plätzen mehr als 200 Reservierungen vorgenommen.
Sei nun n= 215 die Anzahl der vorgenommenen Reservierungen. Man gebe eine Formel für die (exakte) Wahrscheinlichkeit an, dass alle zum Abflug erscheinenden Passagiere auch einen Platz im Flugzeug erhalten. |
Hi,
Die Variable X für erscheinende Passagiere ist binomialverteilt.
Ich habe diese Frage versucht zu beantworten indem ich ganz einfach die Formel [mm] \sum_{k=0}^n \binom n k p^k (1-p)^{n-k} [/mm] mit [mm] p=0.83 [/mm] und [mm] 1-p = 0.17 [/mm] eingesetzt habe.
Da [mm] n= 215 [/mm] ist und [mm] k=200 [/mm] (sonst bekommt ja nicht jeder Passagier einen Platz), dachte ich mit sollte das so aussehen [mm] p(X\leqslant200) = \sum_{k=0}^{215} \binom {215} {200} (0.83)^{200} (0.17)^{15} [/mm]
Leider wird aber in der Lösung diese (allgemein gefasste) Version angegeben [mm] p(X\leqslant200) = \sum_{k=0}^{200} \binom {215} {k} (0.83)^{k} (0.17)^{n-k} [/mm] angegeben.
Wieso ist diese Summe hier von k=0 bis 200 und nicht bis 215 ?
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Sa 18.07.2009 | | Autor: | barsch |
Hi Nickles,
> Die Variable X für erscheinende Passagiere ist
> binomialverteilt.
>
> Ich habe diese Frage versucht zu beantworten indem ich ganz
> einfach die Formel [mm]\sum_{k=0}^n \binom n k p^k (1-p)^{n-k}[/mm]
> mit [mm]p=0.83[/mm] und [mm]1-p = 0.17 [/mm] eingesetzt habe.
das sieht soweit doch schon einmal gut aus.
> Da [mm]n= 215[/mm] ist und [mm]k=200[/mm] (sonst bekommt ja nicht jeder
> Passagier einen Platz), dachte ich mit sollte das so
> aussehen [mm]p(X\leqslant200) = \sum_{k=0}^{215} \binom {215} {200} (0.83)^{200} (0.17)^{15}[/mm]
Warum lässt du deine Summe von k=0 bis k=215 laufen, wenn du sonst nirgends eine Variable k verwendest (mal abgesehen davon, dass 215 falsch ist)?
> Leider wird aber in der Lösung diese (allgemein gefasste)
> Version angegeben [mm]p(X\leqslant200) = \sum_{k=0}^{200} \binom {215} {k} (0.83)^{k} (0.17)^{n-k}[/mm]
> angegeben.
> Wieso ist diese Summe hier von k=0 bis 200 und nicht bis
> 215 ?
Erst einmal sollte geklärt werden, warum hier [mm] p(X\leqslant200) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{200} \binom {215}{\blue{k}} (0.83)^{k} (0.17)^{\red{215}-\blue{k}} [/mm] eine Variable k enthalten ist, oder? Denn du setzt in deiner Lösung generell [mm] \binom {215}{\blue{200}}.
[/mm]
Gefragt ist doch nach
> Wahrscheinlichkeit, dass alle zum Abflug erscheinenden Passagiere auch einen Platz im Flugzeug erhalten.
Wir haben 200 Plätze. Also bekommt doch jeder der Fluggäste einen Platz, wenn (theoretisch keiner kommt, also k=0) einer, zwei, drei, vier,.... oder 200 Passagiere erscheinen.
Also musst du die einzelnen Wkt. addieren. Sprich
P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=200)= [mm] \binom {215}{\blue{0}} (0.83)^{0} (0.17)^{\red{215}-\blue{0}}+ \binom {215}{\blue{1}} (0.83)^{1} (0.17)^{\red{215}-\blue{1}}+...+ \binom {215}{\blue{200}} (0.83)^{200} (0.17)^{\red{215}-\blue{200}}=\sum_{k=0}^{200} \binom {215}{\blue{k}} (0.83)^{k} (0.17)^{\red{215}-\blue{k}}
[/mm]
Warum läuft k bis 200? Weil höchstens 200 Passagiere einen Platz haben. Erscheint nur einer mehr, so haben nicht mehr alle Passagiere einen Sitzplatz. Und du solltest die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass alle zum Abflug erscheinenden Passagiere auch einen Platz im Flugzeug erhalten, was bei [mm] k\ge{201} [/mm] nicht mehr gegeben wäre
Übrigens
> [mm] p(X\leqslant200) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{215} \binom{215}{200} (0.83)^{200} (0.17)^{15}
[/mm]
ist überhaupt nicht richtig. Vielleicht hast du die Verteilung noch nicht richtig verstanden?
Dieser Teil [mm] \binom{215}{200} (0.83)^{200} (0.17)^{15} [/mm] alleine, wäre die Wkt., dass von 215 Personen 200 erscheinen und 15 fernbleiben. Warum willst du diese Wkt., 216-mal addieren? Nichts anderes bedeutet
> [mm] \sum_{k=0}^{215} \binom{215}{200} (0.83)^{200} (0.17)^{15}
[/mm]
Gruß barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:39 So 19.07.2009 | | Autor: | Nickles |
aaahh gut, also das von dir erklärte erschien mir doch jetzt sehr sinnvoll ;)
habe dieses [mm] \sum_{k=0}^{n} \binom {n} {k} p^k (1-p)^{n-k} [/mm] von Wikipedia, wo demnach dann auch steht, das eben n für die Anzahl der Versuche steht.
Dachte da es ja theoretisch 215 Flugreservierungen sind , sind es auch 215 Versuche.
Da man im [mm] \binom {n} {k} [/mm] ja auch für [mm] n = 215 \rightarrow \binom {215} {k} [/mm] setzt dachte ich mir könnte ich das eben auch für das Summenzeichen übernehmen.
Wie gesagt deine Hilfe hat mir geholfen. Verstehe nur nicht warum keine Unterscheidung gemacht wird zwischen dem n von [mm] \binom {n} {k} [/mm] und dem n von [mm] (1-p)^{n-k} [/mm]
Grüße und nochmal danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:57 So 19.07.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Verstehe nur nicht warum keine Unterscheidung gemacht
> wird zwischen dem n von [mm]\binom {n} {k}[/mm] und dem n von [mm](1-p)^{n-k}[/mm]
Meintest du: warum eine Unterscheidung gemacht wird ... also warum da unterschiedliche Zahlen eingesetzt werden - mal 200 und mal 215?
Die Formel aus Wikipedia ist ja nicht auf diese konkrete Aufgabe zugeschnitten.
Ich würde ohnehin folgendes mal Folgendes ganz allgemein empfehlen:
Anstatt mit so riesigen Zahlen (200 und 215) zu operieren, mach das Ganze mal mit kleinen Zahlen (z.B. 3 und 5). Das Prinzip funktioniert da genau so, und du kannst das alles Schritt für Schritt besser nachvollziehen und dir besser vorstellen.
Barsch hatte die Summenformel ja schon detailliert erklärt. Also, wie das zu verstehen ist mit dem ersten bis zum letzten Passagier.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:28 So 19.07.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> mach das Ganze mal mit kleinen Zahlen (z.B. 3 und 5).
Ich will das mal an dem Beispiel mit 5 Fluggästen, die nur 3 Plätze haben, demonstrieren:
Wahrscheinlichkeit, dass keiner kommt (fünf kommen nicht):
[mm] 0.17^{5} [/mm] oder [mm] 0.83^{0}*0.17^{5}*\vektor{5 \\ 0}
[/mm]
Wahrscheinlichkeit, dass einer kommt (vier kommen nicht).
Es ist egal, wer von den fünfen kommt:
[mm] 0.17^{4}*0.83*5 [/mm] oder [mm] 0.83^{1}*0.17^{4}*\vektor{5 \\ 1}
[/mm]
Wahrscheinlichkeit, dass zwei kommen:
[mm] 0.83^{2}*0.17^{3}*\vektor{5 \\ 2}
[/mm]
Wahrscheinlichkeit, dass drei kommen:
[mm] 0.83^{3}*0.17^{2}*\vektor{5 \\ 3}
[/mm]
Jetzt muss man die vier obigen Wahrscheinlichkeiten addieren.
Die ominöse Summenformel ist ja nur eine verkürzte Schreibweise. Ich empfehle, solche Formeln nicht einfach irgendwoher zu übernehmen, sondern besser alles Schritt für Schritt einzeln zu entwickeln, so wie oben geschehen.
Wenn du das im Kleinen verstanden hast, dann kannst du es auch mit großen Zahlen machen. Das Prinzip ist dann das selbe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 So 19.07.2009 | | Autor: | Nickles |
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 So 19.07.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
gut aufgepasst. Ich bin auch einmal durcheinander gekommen. Es muss natürlich heißen
$ [mm] p(X\leqslant200) [/mm] $ = $ [mm] \sum_{k=0}^{200} \binom {\red{215}}{\blue{k}} (0.83)^{\blue{k}} (0.17)^{\red{215}-\blue{k}} [/mm] $.
Das zeigt, du hast dich damit beschäftigt und nicht nur stumpf übernommen ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß barsch
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