Binomialverteilung ABI-Aufgabe < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
könnte jemand mir helfen für die folgende Aufgabe eine richtige Lösung zu finden ?
Ein Käfer beginnt zur Zeit 0 in Position 0 auf einem Band so hin und her zu krabbeln, dass er jede Minute seine Position um ein Feld nach rechts oder links immer mit der gleichen Wahrscheinlichkeit 0,6 bzw. 0,4 ändert.
Man lasse den Käfer genau so lange laufen, bis er zum ersten Mal auf Position (-1) angekommen ist.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist er spätestens nach 5 [spätestens nach 15] Minuten dort angelangt ?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt er nie nach (-1) ?
Mit freundlichen Grüßen
Vatman Valeri
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.mathe-profis.de
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Hallo!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ein Käfer beginnt zur Zeit 0 in Position 0 auf einem Band
> so hin und her zu krabbeln, dass er jede Minute seine
> Position um ein Feld nach rechts oder links immer mit der
> gleichen Wahrscheinlichkeit 0,6 bzw. 0,4 ändert.
> Man lasse den Käfer genau so lange laufen, bis er zum
> ersten Mal auf Position (-1) angekommen ist.
> Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist er spätestens nach 5
> [spätestens nach 15] Minuten dort angelangt ?
> Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt er nie nach (-1) ?
Also ich finde die Aufgabe sehr schwer, was natürlich nichts heißen mag, aber ich suche nun schon ziemlich lange nach einem System, und finde es einfach nicht :-( Im Abi wäre ich wahrscheinlich schon durchgedreht.
Trotzdem kann ich ja schon mal aufschreiben, was ich bisher überlegt habe. Sei X die Zufallsvariable, die die Minute beschreibt, an der er das erste Mal auf die -1 kommt. Zunächst stellt man fest, dass X nur ungerade natürliche Zahlen annehmen kann.
P(X=1)=0.4 ist leicht, wenn ich die Aufgabenstellung richtig interpretiere.
Für X=3 gibt es auch nur eine Möglichkeit für den Käfer, nämlich einmal nach rechts und dann zweimal nach links zu gehen (kurz: RLL), d.h.
[mm]P(X=3)=0.6\cdot 0.4^2[/mm]
Für X=5 gibt es schon zwei Möglichkeiten, nämlich RRLLL und RLRLL. Fest ist vorne das R und hinten LL, dazwischen ist es egal, ob erst R oder L kommt. Damit folgt
[mm]P(X=5)=2\cdot 0.6^2\cdot 0.4^3[/mm]
Daraus berechnet man leicht [mm] $P(X\le [/mm] 5)=P(X=1)+P(X=3)+P(X=5)$.
Für X=7 wird es noch unübersichtlicher. Vorne und hinten ist wieder klar, nun muss man aber noch aufpassen, dass man nicht schon ein Ergebnis der bereits berechneten Ereignisse erwischt. Ich komme auf insgesamt 5 Möglichkeiten, also
[mm]P(X=7)=5\cdot 0.6^3\cdot 0.4^4[/mm]
Für mehr langt meine Geduld leider nicht. Ich habe versucht rekursiv vorzugehen, aber für die Anzahl der Möglichkeiten erkenne ich keine Folge. Wie sich die Exponenten ändern, ist sofort klar, aber der Rest? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Außerdem war eine Idee, direkt [mm] $P(X\le [/mm] k)$ bzw. $P(X>k)$ zu berechnen, aber auch dabei bin ich nicht weitergekommen :-(
Na ja, vielleicht konnte ich ja wenigstens ein paar Ideen liefern, so dass jemand mein Zwischenergebnis fortführen kann. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Viele Grüße
Brigitte
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Hallo, Brigitte
du hast das Problem absolut richtig verstanden
Grüsse
Vatman Valeri
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Di 18.01.2005 | | Autor: | Brigitte |
Hallo Vatman,
> du hast das Problem absolut richtig verstanden
wieso kennzeichnest Du meine Antwort dann als fehlerhaft? Wenn Du noch mehr Ergebnisse hast, kannst Du sie ja bitte posten.
Gruß
Brigitte
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Hallo, Brigitte
ich bitte Tausend Mal um Entschuldigung, weil ich einfach versehentlich
falsches Button gecklickt habe und 'Matheforum' ohne Bestätigung hat deine Antwort als fehlerhaft gekennzeichnet
Sorry
MfG
Vatman Valeri
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