Binominalverteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Eine Urne enthält 6 schwarze und 8 weiße Kugeln. 5 Kugeln werden mit(ohne) zurücklegen gezogen. Wie wahrscheinlich sind 3 schwarze? |
Hallo!
Es soll hier mit Binominalverteilung und mit kombinatorischen Mitteln gerechnet werden. Bei letzterem mit zurücklegen habe ich Schwierigkeiten. Die Formel für eine ungeordnete Stichprobe mit zurücklegen müsste doch [mm]\vektor{n+k-1\\k}[/mm] lauten also in meinem Fall:
[mm] \frac{\vektor{8 \\ 3} \vektor{9 \\ 2} }{\vektor{14 \\ 5}} [/mm] was aber nicht mit dem Ergebnis 0,257 übereinstimmt...
Was stimmt hier nicht?Wie müsste man es machen?
Danke!
Gruß
Angelika
|
|
| |
|
> Eine Urne enthält 6 schwarze und 8 weiße Kugeln. 5 Kugeln
> werden mit(ohne) zurücklegen gezogen. Wie wahrscheinlich
> sind 3 schwarze?
> Hallo!
>
> Es soll hier mit Binominalverteilung und mit
> kombinatorischen Mitteln gerechnet werden. Bei letzterem
> mit zurücklegen habe ich Schwierigkeiten. Die Formel für
> eine ungeordnete Stichprobe mit zurücklegen müsste doch
> [mm]\vektor{n+k-1\\k}[/mm] lauten also in meinem Fall:
>
> [mm]\frac{\vektor{8 \\ 3} \vektor{9 \\ 2} }{\vektor{14 \\ 5}}[/mm]
> was aber nicht mit dem Ergebnis 0,257 übereinstimmt...
>
> Was stimmt hier nicht?
Ungeordnete Wahl mit Wiederholung ist hier kein ![[]](/images/popup.gif) Laplace-Experiment, weshalb Du in diesem Falle nicht einfach den Quotienten von "günstigen zu möglichen Fällen" bilden darfst, um die gewünschte Wahrscheinlichkeit zu berechnen.
>Wie müsste man es machen?
Geordnet mit Wiederholung, denn bei dieser Betrachtungsweise ist jede spezielle geordnete Sequenz (mit Wiederholung) gleich wahrscheinlich ("Laplace-Experiment"), und daher ist:
[mm]\mathrm{P}(\text{genau 3 schwarze Kugeln})=\frac{\binom{5}{3}\cdot 6^3\cdot 8^{5-3}}{(6+8)^5}\approx 0.257[/mm]
Der Faktor [mm] $\binom{5}{3}$ [/mm] steht für die Anzahl Möglichkeiten, die Positionen der $3$ schwarzen Kugeln in der Sequenz von insgesamt $5$ Kugeln zu wählen.
|
|
|
| |
|
> > Eine Urne enthält 6 schwarze und 8 weiße Kugeln. 5 Kugeln
> > werden mit(ohne) zurücklegen gezogen. Wie wahrscheinlich
> > sind 3 schwarze?
> > Hallo!
> >
> > Es soll hier mit Binominalverteilung und mit
> > kombinatorischen Mitteln gerechnet werden. Bei letzterem
> > mit zurücklegen habe ich Schwierigkeiten. Die Formel für
> > eine ungeordnete Stichprobe mit zurücklegen müsste doch
> > [mm]\vektor{n+k-1\\k}[/mm] lauten also in meinem Fall:
> >
> > [mm]\frac{\vektor{8 \\ 3} \vektor{9 \\ 2} }{\vektor{14 \\ 5}}[/mm]
> > was aber nicht mit dem Ergebnis 0,257 übereinstimmt...
> >
> > Was stimmt hier nicht?
>
> Ungeordnete Wahl mit Wiederholung ist hier kein
> Laplace-Experiment,
> weshalb Du in diesem Falle nicht einfach den Quotienten von
> "günstigen zu möglichen Fällen" bilden darfst, um die
> gewünschte Wahrscheinlichkeit zu berechnen.
Ich weiß was eine Gleichverteilung ist verstehe aber nicht genau warum die ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen eine Gleichverteilung ist, mit Zurücklegen aber nicht?? Gleichverteilung heißt doch, dass alle Ereignisse gleich wahrscheinlich sind dh. die Ziehung der schwarzen und weißen Kugeln ist gleichwahrscheinlich?!Das ist doch sowiso nicht der Fall?Ich glaube ich habe da etwas grundlegendes nicht verstanden.Könnte mir das bitte noch jemand erklären?
Gruß
Angelika
> >Wie müsste man es machen?
>
> Geordnet mit Wiederholung, denn bei dieser
> Betrachtungsweise ist jede spezielle geordnete Sequenz (mit
> Wiederholung) gleich wahrscheinlich ("Laplace-Experiment"),
> und daher ist:
>
> [mm]\mathrm{P}(\text{genau 3 schwarze Kugeln})=\frac{\binom{5}{3}\cdot 6^3\cdot 8^{5-3}}{(6+8)^5}\approx 0.257[/mm]
>
> Der Faktor [mm]\binom{5}{3}[/mm] steht für die Anzahl Möglichkeiten,
> die Positionen der [mm]3[/mm] schwarzen Kugeln in der Sequenz von
> insgesamt [mm]5[/mm] Kugeln zu wählen.
|
|
|
| |
|
> > > Eine Urne enthält 6 schwarze und 8 weiße Kugeln. 5 Kugeln
> > > werden mit(ohne) zurücklegen gezogen. Wie wahrscheinlich
> > > sind 3 schwarze?
> > > Hallo!
> > >
> > > Es soll hier mit Binominalverteilung und mit
> > > kombinatorischen Mitteln gerechnet werden. Bei letzterem
> > > mit zurücklegen habe ich Schwierigkeiten. Die Formel für
> > > eine ungeordnete Stichprobe mit zurücklegen müsste doch
> > > [mm]\vektor{n+k-1\\k}[/mm] lauten also in meinem Fall:
> > >
> > > [mm]\frac{\vektor{8 \\ 3} \vektor{9 \\ 2} }{\vektor{14 \\ 5}}[/mm]
> > > was aber nicht mit dem Ergebnis 0,257 übereinstimmt...
> > >
> > > Was stimmt hier nicht?
> >
> > Ungeordnete Wahl mit Wiederholung ist hier kein
> >
> Laplace-Experiment,
> > weshalb Du in diesem Falle nicht einfach den Quotienten von
> > "günstigen zu möglichen Fällen" bilden darfst, um die
> > gewünschte Wahrscheinlichkeit zu berechnen.
>
> Ich weiß was eine Gleichverteilung ist verstehe aber nicht
> genau warum die ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen
> eine Gleichverteilung ist, mit Zurücklegen aber nicht??
Ich spreche hier lieber von einem Laplace-Experiment. Das heisst: einem Zufallsexperiment mit endlich vielen verschiedenen Ergebnissen, bei dem alle "Elementarereignisse" (d.h. Ereignisse, die nur ein einziges Ergebnis enthalten) gleich wahrscheinlich sind.
> Gleichverteilung heißt doch, dass alle Ereignisse gleich
> wahrscheinlich sind
Nicht alle Ereignisse: nur alle Ergebnisse (bzw. alle Elementarereignisse), was nicht das selbe ist.
> dh. die Ziehung der schwarzen und
> weißen Kugeln ist gleichwahrscheinlich?!Das ist doch sowiso
> nicht der Fall?Ich glaube ich habe da etwas grundlegendes
> nicht verstanden.Könnte mir das bitte noch jemand
> erklären?
Dass es sich bei Deiner ungeordnet-mit-Wiederholung-Betrachtungsweise nicht um ein Laplace-Experiment handelt, hat noch nicht einmal etwas mit der Frage der "Farben" schwarz/weiss zu tun.
Überlege doch einmal geordnet-mit-Wiederholung: Das Ereignis genau fünf mal exakt dieselbe Kugel, sagen wir "Kugel Nr 1" zu ziehen (also nicht bloss eine Kugel mit derselben Farbe sondern sogar exakt dieselbe Kugel) hat die Wahrscheinlichkeit [mm] $\left(\frac{1}{14}\right)^5$. [/mm]
Das Ereignis, genau vier mal "Kugel Nr 1" und einmal "Kugel Nr 2" zu ziehen, hat die Wahrscheinlichkeit [mm] $5\cdot \left(\frac{1}{14}\right)^5$, [/mm] ist also nicht dieselbe Wahrscheinlichkeit. (Der zusätzliche Faktor $5$ ergibt sich daraus, dass die eine Ziehung von "Kugel Nr 2" an fünf verschiedenen Stellen der Zugsequenz auftreten kann.) Aber bei Deiner ungeordneten Zählung mit Wiederholung sind diese beiden Ereignisse, "fünf mal Kugel Nr 1" und "vier mal Kugel Nr 1 und einmal Kugel Nr 2", beides Elementarereignisse, müssten also dieselbe Wahrscheinlichkeit haben, was offenbar aufgrund der obigen geordnet-mit-Wiederholung-Überlegung nicht der Fall ist: damit ist Deine Annahme, es handle sich bei Deiner ungeordnet-mit-Wiederholung-Betrachtungsweise um ein Laplace-Experiment, widerlegt. Und daher durftest Du, zur Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit, nicht einfach das Verhältnis von "günstigen" zu "möglichen" Fällen bilden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Sa 14.03.2009 | | Autor: | U-Gen |
Hi Angelika,
Du hast schon richtig gedacht, dass man eigentlich mit der hypergeometrischen Verteilung arbeiten sollte, jedoch kannst du diese hier nicht verwenden, weil du die Kugeln ja immer wieder zurücklegst !!!
Du nimmst die [mm] H_N_,_A_,_n [/mm] - Verteilung und näherst die der Binomialverteilung mit [mm] B_n_,_\bruch{A}{N} [/mm] an !!!
Insgesamt ziehst du 5x, daraus folgt n = 5, desweiteren ist dein A = 6, wegen den schwarzen Kugeln und dein N = 14, die Grundgesamtheit.
[mm] \bruch{A}{N} = \bruch{6}{14} = 0,4285714 [/mm]
Das setzt du jetzt alles in die Binomialverteilung ein : [mm] \mathcal{P} ( X = k ) = {n \choose k} * \pi^k * (1-\pi)^n^-^k [/mm]
Somit erhälst du: [mm] \mathcal{P} ( X = 3 ) = {5 \choose 3} * 0,4285714^3 * (1-0,4285714)^5^-^3 = 0,257 [/mm]
|
|
|
|
