Binominalverteilung < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:11 Di 25.01.2011 | | Autor: | Darkonis |
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Di 25.01.2011 | | Autor: | gfm |
> Die Aufgabe lautet:
> Zwei Spieler werfen je n Münzen mit den Seiten 1,0.
> Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide die
> gleiche Summe erreichen?
Du hast also zwei Zufallsvariablen X und Y, welche die (zufälligen) Anzahlen der einsen der Würfe der Spieler beschreiben mögen. Es gilt
[mm] P(\{X=k\})=P(\{Y=k\})=b(n,k,p) [/mm] mit p=0,5 wobei
[mm] b(n,k,p)=\vektor{n \\ k}p^k*(1-p)^{n-k}\ [/mm] die Dichte der Binomialverteilung sei.
Dich interessiert [mm] P(\cup_{k=0}^n(\{X=k\}\cap \{Y=k\})), [/mm] wobei
[mm] \cup_{k=0}^n(\{X=k\}\cap \{Y=k\})=(\{X=0\}\cap \{Y=0\})\cup(\{X=1\}\cap \{Y=1\})\cup...\cup(\{X=n\}\cap \{Y=n\}) [/mm] das Ereignis ist, dass beide Spieler die gleiche Summe werfen.
Es gilt [mm] P(\cup_{k=0}^n(\{X=k\}\cap \{Y=k\}))=\summe_{k=0}^nP(\{X=k\}\cap \{Y=k\})=\summe_{k=0}^nP(\{X=k\})*P(\{Y=k\})=\summe_{k=0}^nb(n,k,p)^2
[/mm]
Für das vorletzte Gleichheitszeichen ist die Unabhängihkeit der Würde beider Spieler angenommen.
LG
gfm
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> Die Aufgabe lautet:
> Zwei Spieler werfen je n Münzen mit den Seiten 1,0.
> Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide die
> gleiche Summe erreichen?
Hallo Darkonis,
gfm hat dir schon geantwortet. Am Ende kommt man
im Fall des Münzenbeispiels ( mit [mm] p=\frac{1}{2} [/mm] ) abge-
sehen von einem Zahlenfaktor auf die Summe
[mm] $\summe_{k=0}^{n}\ \pmat{n\\k}^2$
[/mm]
Ich wollte dich nur darauf aufmerksam machen, dass es
für das Ergebnis dieser Summe einen einfachen Term
gibt: es handelt sich ebenfalls um einen Binomialkoef-
fizient !
Wenn du die Werte der Summe für einige n bestimmst,
findest du die Formel wohl selber heraus. Tipp: Schreib
dir das Pascalsche Dreieck z.B. bis zur Zeile mit n=8 auf
und suche darin die ersten paar Summenwerte !
Natürlich ist die gefundene Formel dann noch zu beweisen,
etwa durch vollständige Induktion ( ... aber das kann
umständlich werden ... ).
LG Al-Chwarizmi
Ach ja, übrigens: es heißt nicht "Binominalverteilung",
sondern "Binomialverteilung".
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