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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 Mo 06.12.2004 | | Autor: | kati_k |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo bin Mutter und kann meinem Kind nicht bei folgendet Aufgabe helfen da ich eine Mathe-Null bin.
bitte um Hilfe damit ich ihm das erklären kann
[mm] (a-b)^5(b-a)^7=
[/mm]
^heißt hoch
danke
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Hallo!
> [mm](a-b)^5(b-a)^7=
[/mm]
>
Mmh, also das ist schwer zu erklären, weil ich nicht weißt, was ihr schon wisst, denn eigentlich ist es gar nicht so schwer. Aber ich will mal versuchen, ganz einfach anzufangen:
Wenn man eine Zahl "hoch 2" nimmt, heißt das ja, dass man die Zahl mit sich selbst multipliziert, also quasi "zweimal" hinschreibt und dazwischen einen Malpunkt setzt. Wenn man sie nun "hoch 5" nimmt, schreibt man sie fünfmal hin und setzt dazwischen 4 Malpunkte. Ist das soweit klar?
Wenn man nun einen Term, wie da oben z. B. (a-b) "hoch 2" nimmt, dann schreibt man diesen Term zweimal hin und setzt dazwischen wieder einen Malpunkt. Das sieht dann erstmal so aus:
(a-b)(a-b)
So, und wie berechnet man das nun? Naja, die Grundregel bei so etwas heißt: "Jedes mit jedem malnehmen", also das a aus der ersten Klammer mit dem a aus der zweiten Klammer, aber auch mit dem (-b) aus der zweiten Klammer, und das (-b) aus der ersten Klammer ebenfalls sowohl mit dem a aus der zweiten als auch mit dem (-b) aus der zweiten Klammer. Das sieht dann so aus:
(a-b)(a-b) = [mm] a^2 [/mm] - ab - ba [mm] +(-b)^2 [/mm] = [mm] a^2-2ab+b^2
[/mm]
Das ist die allseits bekannte binomische Formel. So, nun steht da oben aber nicht [mm] (a-b)^2 [/mm] sondern [mm] (a-b)^5. [/mm] Man müsste jetzt also den "Ergebnisterm" von eben nochmal mit (a-b) multiplizieren, das Ergebnis davon wiederum und dann noch einmal (wenn ich mich nicht verzählt habe, dann sind das dann 5).
Nun ist es aber egal, wie man beim Multiplizieren die Klammern setzt:
(a-b)(a-b)(a-b)(a-b)(a-b)=[(a-b)(a-b)][(a-b)(a-b)](a-b)
Dies ist nämlich eine Vereinfachung beim Rechnen, denn hier steht ja jetzt:
[mm] (a-b)^2(a-b)^2(a-b)
[/mm]
und [mm] (a-b)^2 [/mm] haben wir ja bereits berechnet. Das heißt, es genügt, jetzt [mm] (a-b)^2(a-b)^2 [/mm] zu rechnen, und das Ergebnis davon noch mit (a-b) zu multiplizieren, dann haben wir auch 5. Das geht dann so:
[mm] (a-b)^2(a-b)^2 [/mm] = [mm] (a^2-2ab+b^2)(a^2-2ab+b^2)
[/mm]
[mm] =a^2*a^2+a^2*(-2ab)+a^2*b^2-2ab*a^2-2ab(-2ab)-2ab*b^2+b^2*a^2+b^2*(-2ab)+b^2*b^2
[/mm]
Also wieder jedes mit jedem... Ist das klar?
Das kann man jetzt vereinfachen und erhält:
[mm] =a^4-2a^3b+a^2b^2-2a^3b+4a^2b^2-2ab^3+b^2a^2-2ab^3+b^4
[/mm]
(beachte hierbei vielleicht noch Folgendes:
ab=ba
[mm] (-a)(-a)=a^2
[/mm]
[mm] a*a^2=a^3
[/mm]
ich hoffe, alles andere ist klar, sonst bitte nachfragen 
So, und das kann man jetzt noch zusammenrechnen und man erhält:
[mm] =a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4
[/mm]
So, und diesen langen Term müssen wir nun noch mit (a-b) multiplizieren und dann erhalten wir [mm] (a-b)^5. [/mm] Das rechne ich jetzt mal nicht vor... Das geht ja ganz genauso.
Und bei [mm] (b-a)^7 [/mm] geht das auch genauso, man kann hier wieder durch Klammerung ein paar Terme zusammenfassen. Und noch ein Hinweis: Es gitl sowohl:
[mm] (a+b)^2 [/mm] = [mm] (b+a)^2
[/mm]
als auch:
[mm] (a-b)^2=(b-a)^2
[/mm]
denn [mm] (a-b)^2 [/mm] = [mm] a^2-2ab+b^2 [/mm] = [mm] b^2-2ab+a^2 [/mm] = [mm] (b-a)^2.
[/mm]
Das vereinfacht die Sache doch erheblich, oder?
So, du kannst das ja mal durchrechnen, und wenn du die ganze Rechnung hier aufschreibst, kann ich es mir mal angucken.
Viele Grüße, ich hoffe, ich konnte helfen.
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Christiane hat die Aufgabe so aufgefasst, dass man ausmultiplizieren sollte. Ich gehe aber mal davon aus, dass man einfach die Potenzgesetze anwenden soll. Macht dein Kind denn gerade Potenzgesetze?
Dann ginge die Aufgabe so:
[mm] $(a-b)^5 \cdot (b-a)^7$
[/mm]
$= [mm] (a-b)^5 \cdot [/mm] ((-1) [mm] \cdot(a-b))^7$
[/mm]
[denn [mm] $\blue{b-a = -(a-b) = (-1) \cdot (a-b)}$]
[/mm]
$= [mm] (a-b)^5 \cdot (-1)^7 \cdot (a-b)^7$
[/mm]
[Potenzgesetz: [mm] $\blue{(c\cdot d)^n = c^n \cdot d^n}$, [/mm] hier mit [mm] $\blue{c=-1}$, $\blue{d=a-b}$ [/mm] und [mm] $\blue{n=7}$]
[/mm]
$= [mm] (-1)^7 \cdot (a-b)^5 \cdot (a-b)^7$
[/mm]
$= - [mm] (a-b)^5 \cdot (a-b)^7$
[/mm]
$= - [mm] (a-b)^{5+7}$
[/mm]
[Potenzgesetz: [mm] $\blue{c^n \cdot c^m= c^{n+m}}$, [/mm] hier mit [mm] $\blue{c=a-b}$, $\blue{n=5}$ [/mm] und [mm] $\blue{m=7}$]
[/mm]
$= - [mm] (a-b)^{12}$.
[/mm]
Frag bei Unklarheiten einfach nach.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:45 Mo 06.12.2004 | | Autor: | kati_k |
Danke Euch beiden also zum einen geht es um binomische Formeln ich werde mich in aller Ruhe heute Mittag mal mit ihm hinsetzten und das durchgehen. Melde mich wieder
Danke Euch beiden
Kati
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