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| Aufgabe | | Beweise [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] 2^n [/mm] |
also ich nehme den binomischen Lehrsatz [mm] (x+y)^n=\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} x^k [/mm] y^(n-k)....
so auf der einen seite setze ich für x und y einfach 1 ein.... habe aber schwierigkeiten mit der anderen Seite...verstehe das alles nich ganz...
Vielleicht kennt jemand von euch einen Tipp wie ich Summe*Binomialkoeffizient verstehe...
DANKE LG
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Hey
> Beweise [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}[/mm] = [mm]2^n[/mm]
> also ich nehme den binomischen Lehrsatz
> [mm](x+y)^n=\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} x^k[/mm] [mm] y^{n-k}.... [/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> so auf der einen seite setze ich für x und y einfach 1
> ein....
Setze es auf beiden Seiten ein und du bist direkt fertig! Beachte das [mm] 1^r=1 [/mm] für alle r aus [mm] \IN.
[/mm]
> habe aber schwierigkeiten mit der anderen
> Seite...verstehe das alles nich ganz...
> Vielleicht kennt jemand von euch einen Tipp wie ich
> Summe*Binomialkoeffizient verstehe...
> DANKE LG
Gruß Patrick
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Danke, dann fallen die letzten produkte ja weg....
(mein Problem is aber der Binomialkoeffizient in Verbindung mit der Summe....hatte in der Schule nie Wahrscheinlichkeit in der Formm und habe jetzt Anschlussschwierigkeiten)
Wie sieht das den etwa aus wenn man das berechnen will, vielleicht kennt jemand ein konkretes bsb.
Danke wiedermal
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Hallo delicious!
> Danke, dann fallen die letzten produkte ja weg....
> (mein Problem is aber der Binomialkoeffizient in
> Verbindung mit der Summe....hatte in der Schule nie
> Wahrscheinlichkeit in der Formm und habe jetzt
> Anschlussschwierigkeiten)
> Wie sieht das den etwa aus wenn man das berechnen will,
> vielleicht kennt jemand ein konkretes bsb.
> Danke wiedermal
Wenn ich dich richtig verstanden habe, kannst du die Summennotation
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] $ = $ [mm] 2^n [/mm] $ in Verbindung mit dem Binomialkoeffizienten nicht deuten, seh ich das richtig?
$ [mm] \summe_{{\red{k=0}}}^{{\blue{n}}} \vektor{n \\ k} [/mm] $ = $ [mm] 2^n [/mm] $ ist nichts anderes als
$\ [mm] \vektor{n \\ {\red{0}}} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 3} [/mm] + ... + [mm] \vektor{n \\ n-2} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ n-1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ {\blue{n}}} [/mm] = [mm] 2^n$
[/mm]
Wie du siehst, handelt es sich bei $\ n, k $ jeweils um Anfangs- und Endwerte.
$\ k = $ "Untergrenze", dort, wo das Summieren beginnt.
$\ n = $ "Obergrenze", dort, wo das Summieren endet.
Ich hoffe ich konnte dir behilflich sein 
Grüße,
ChopSuey
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Danke Danke
sieht das dann so aus ?
[mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] 1 + n + [mm] \vektor{n \\ 2}.....\vektor{n \\ n-2} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ n-1} [/mm] + 1 = [mm] 2^{n}
[/mm]
und die Summen in der Mitte heben sich dann auf? Wo komt dann das hoch n her?
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> Danke Danke
> sieht das dann so aus ?
> [mm] \red{\summe_{k=0}^{n}} \blue{1 + n} [/mm] + [mm]\vektor{n \\ 2}.....\vektor{n \\ n-2}[/mm] + [mm]\vektor{n \\ n-1}[/mm] + [mm] \blue{1} [/mm] = [mm]2^{n}[/mm]
Nein. Wenn Du die Summe schon auflöst, dann fällt das (rot markierte) Summenzeichen links auch weg! Ansonsten hast Du richtig aufgelöst, aber schon drei Binomialkoeffizienten eingesetzt, [mm] \blue{\vektor{n \\ 0}}, \blue{\vektor{n \\ 1}} [/mm] und [mm] \blue{\vektor{n \\ n}}. [/mm] Die Werte stimmen zwar, verhindern hier aber die Übersichtlichkeit.
> und die Summen in der Mitte heben sich dann auf?
Nein, da hebt sich nichts auf.
Für z.B. n=7 lauten die Koeffizienten so: 1,7,21,35,35,21,7,1; ihre Summe ist [mm] 128=2^7
[/mm]
> Wo komt
> dann das hoch n her?
Das kommt nirgendwo her. Es zeigt sich, dass die Summe für ein beliebiges n so formuliert werden kann. Das ist zwar auf verschiedenen Wegen nachzuweisen bzw. zu konstruieren, aber Du sollst doch nichts weiter tun, als zu zeigen, dass das richtig ist.
Und wie das geht, weißt Du doch längst (siehe die ersten beiden Posts - du hattest von Anfang an einen guten, richtigen Ansatz).
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 11:48 Mi 10.12.2008 | | Autor: | reverend |
Da hat sich ein Fehler eingeschlichen, der aber ganz wesentliche Auswirkungen haben kann:
> Wie du siehst, handelt es sich bei [mm] \a{}n,\red{k} [/mm] jeweils um Anfangs-
> und Endwerte.
> [mm] \red{k}= [/mm] "Untergrenze", dort, wo das Summieren beginnt.
> [mm] \a{}n= [/mm] "Obergrenze", dort, wo das Summieren endet.
Das ist falsch. [mm] \a{}k [/mm] ist die Laufvariable; sie hat außerhalb der Summe keine Bedeutung, nimmt aber innerhalb der Summe alle Werte von der Untergrenze 0 bis zur Obergrenze n an.
"Summe von k gleich Null bis n über (die Binomialkoeffizienten) n über k".
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 13:05 Mi 10.12.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo reverend,
Danke für den wichtigen Hinweis, ich hoffe ich habe nicht für Verwirrung gesorgt.
Gruß
ChopSuey
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