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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Binomischer Lehrsatz
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Binomischer Lehrsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:53 Mo 01.06.2009
Autor: ms2008de

Aufgabe
Man zeige für alle natürlichen Zahlen n [mm] \ge [/mm] 1:
[mm] 2^{2n} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{2n+1 \\ 2i} [/mm]

Hallo,
hab doch einige Schwierigkeiten mit dem Beweis und zwar konnte ich bereits zeigen mithilfe des Binomischen Lehrsatzes, dass [mm] 2^{2n}= 2\summe_{i=0}^{n} \vektor{2n \\ 2i} [/mm] ist. Also ist [mm] 2^{2n} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{2n \\ 2i} [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{2n \\ 2i}= \summe_{i=0}^{n} (\vektor{2n \\ 2i} [/mm] + [mm] \vektor{2n \\ 2i}). [/mm] Aber an der Stelle häng ich nun und weiß nich, wie ich weiter machen soll. Wäre schön, wenn mir jmd. nen Tipp geben könnte...

Viele Grüße

        
Bezug
Binomischer Lehrsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:06 Mo 01.06.2009
Autor: MathePower

Hallo ms2008de,

> Man zeige für alle natürlichen Zahlen n [mm]\ge[/mm] 1:
>  [mm]2^{2n}[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{n} \vektor{2n+1 \\ 2i}[/mm]
>  Hallo,
> hab doch einige Schwierigkeiten mit dem Beweis und zwar
> konnte ich bereits zeigen mithilfe des Binomischen
> Lehrsatzes, dass [mm]2^{2n}= 2\summe_{i=0}^{n} \vektor{2n \\ 2i}[/mm]


Ich komme hier auf:

[mm]2^{2n}=\left(1+1\right)^{2n}=\summe_{k=0}^{2n}\pmat{2n \\ k} *1^{k}*1^{2n-k}=\summe_{k=0}^{2n}\pmat{2n \\ k} *1^{2n}=\summe_{k=0}^{2n}\pmat{2n \\ k}[/mm]

Nutzen wir die Symmetrieeigenschaften der Binomialkoeffizienten aus:

[mm]\pmat{2n \\ k}=\pmat{2n \\ 2n-k}[/mm]

Der Koeffizient für k=n tritt nur einmal auf.

Demnach ergibt sich:

[mm]2^{2n}=\summe_{k=0}^{2n}\pmat{2n \\ k}=\summe_{k=0}^{n-1}\pmat{2n \\ k}+\pmat{2n \\ n}[/mm]


> ist. Also ist [mm]2^{2n}[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{n} \vektor{2n \\ 2i}[/mm] +
> [mm]\summe_{i=0}^{n} \vektor{2n \\ 2i}= \summe_{i=0}^{n} (\vektor{2n \\ 2i}[/mm]
> + [mm]\vektor{2n \\ 2i}).[/mm] Aber an der Stelle häng ich nun und
> weiß nich, wie ich weiter machen soll. Wäre schön, wenn mir
> jmd. nen Tipp geben könnte...
>  
> Viele Grüße


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Binomischer Lehrsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:45 Mo 01.06.2009
Autor: ms2008de

Sorry, aber ich komm gerade nich wirklich dahinter, was du in dem letzten Schritt getan hast:
[mm] \summe_{k=0}^{2n} \vektor{2n \\ k}= \summe_{k=0}^{n-1} \vektor{2n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{2n \\ n} [/mm] ??? und ich weiß auch nich, in wie fern mir das jetz weiterhilft beim Beweis. Stimmt diese Formel denn überhaupt, für n = 3
komm ich auf: [mm] \summe_{k=0}^{6} \vektor{6 \\ k}=64 [/mm] und auf der andern Seite: [mm] \summe_{k=0}^{2} \vektor{4 \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{4 \\ 2}= [/mm] 17
Vllt. könnt nochmal jmd. sich die Mühe machen, vielen Dank dennoch schonmal bis dahin.




Bezug
                        
Bezug
Binomischer Lehrsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:51 Mo 01.06.2009
Autor: MathePower

Hallo ms2008de,

> Sorry, aber ich komm gerade nich wirklich dahinter, was du
> in dem letzten Schritt getan hast:
>  [mm]\summe_{k=0}^{2n} \vektor{2n \\ k}= \summe_{k=0}^{n-1} \vektor{2n \\ k}[/mm]
> + [mm]\vektor{2n \\ n}[/mm] ??? und ich weiß auch nich, in wie fern
> mir das jetz weiterhilft beim Beweis
>  Vllt. könnt nochmal jmd. sich die Mühe machen, vielen Dank
> dennoch schonmal bis dahin.


Das muß hier natürlich heißen:

[mm]\summe_{k=0}^{2n} \vektor{2n \\ k}= \left( \ \blue{2}*\summe_{k=0}^{n-1} \vektor{2n \\ k} \ \right)+\pmat{2n \\ n}[/mm]


>  
>
>  


Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Binomischer Lehrsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:09 Mo 01.06.2009
Autor: ms2008de

Danke, aber auch diese korrigierte Formel bringt mich beim Beweis überhaupt kein bisschen weiter.



Bezug
        
Bezug
Binomischer Lehrsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 Mo 01.06.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Man zeige für alle natürlichen Zahlen n [mm]\ge[/mm] 1:
>  [mm]2^{2n}[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{n} \vektor{2n+1 \\ 2i}[/mm]
>  Hallo,
> hab doch einige Schwierigkeiten mit dem Beweis und zwar
> konnte ich bereits zeigen mithilfe des Binomischen
> Lehrsatzes, dass [mm]2^{2n}= 2\summe_{i=0}^{n} \vektor{2n \\ 2i}[/mm]
> ist. Also ist [mm]2^{2n}[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{n} \vektor{2n \\ 2i}[/mm] +
> [mm]\summe_{i=0}^{n} \vektor{2n \\ 2i}= \summe_{i=0}^{n} (\vektor{2n \\ 2i}[/mm]
> + [mm]\vektor{2n \\ 2i}).[/mm] Aber an der Stelle häng ich nun und
> weiß nich, wie ich weiter machen soll. Wäre schön, wenn mir
> jmd. nen Tipp geben könnte...
>  
> Viele Grüße


Hallo ms,

ich habe mir mal das Beispiel mit n=4 angeschaut.
Dann ergibt sich die Summe

     [mm] S=\vektor{9\\0}+\vektor{9\\2}+\vektor{9\\4}+\vektor{9\\6}+\vektor{9\\8} [/mm]

und, wegen der Symmetrie, die auch schon MathePower
genannt hat, gilt auch:

     [mm] S=\vektor{9\\9}+\vektor{9\\7}+\vektor{9\\5}+\vektor{9\\3}+\vektor{9\\1} [/mm]

Addiert man nun diese beiden Zeilen, so hat man:

     [mm] 2*S=\summe_{i=0}^{9}\vektor{9\\i} [/mm]

und dies entspricht nach dem binomischen Satz dem
Ergebnis von [mm] (1+1)^9, [/mm] also [mm] 2^9 [/mm] . Es ist also [mm] 2*S=2^9 [/mm]
und demzufolge  [mm] S=2^8. [/mm]

Für beliebige [mm] n\in \IN [/mm]  sollte sich diese Überlegung ganz
einfach übertragen lassen.


Gruß     Al-Chw.
    

Bezug
                
Bezug
Binomischer Lehrsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:19 Mo 01.06.2009
Autor: ms2008de

Danke vielmals, jetz hab ichs endlich verstanden

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