Biquadratische Gleichungen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Mi 30.01.2008 | | Autor: | SeldaS |
| Aufgabe | | [mm] f(x)=x^6-2x^4-8x^2 [/mm] |
Hallo, heute hat mein Mathe Kurs diese Aufgabe gelöst jedoch war ich nicht da und verstehe nicht wie ich das machen muss! Ich hoffe jemand kann mir helfen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Sabah |
Hallo Selda, was soll gelöst werden? Wir haben ein Polynom 6.grades hier, nur was will man von uns wissen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Mi 30.01.2008 | | Autor: | SeldaS |
Man soll die Nullstellen berechnen. Ich hoffe du kannst mir helfen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Sabah |
Die Nullstellen von so ein Polynom kann man am einfachsten mit Hornerschema berechnen. Wie man mit eine Hornerschema umgeht kannst du hier dich erkundigen,
![[]](/images/popup.gif) Hornerschema
bis dahin rechne ich deine Aufgabe.
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Vielleicht ging es um die Bestimmung von Nullstellen.
In diesem Fall muss man sich bewusst sein, dass es keine Lösungsformeln für das Bestimmen von Nullstellen von Polynomen vierten Grades oder höher gibt.
Man bedient sich daher oft des Ausklammerns:
Man würde nun folgendermaßen vorgehen:
[mm] x^{6}-2*x^{4}-8*x^{2} [/mm] = 0
Ausklammern von [mm] x^{2}:
[/mm]
[mm] x^{2}*(x^{4}-2*x^{2}-8) [/mm] = 0
Nun der Nutzen: Man weiss: Soll ein Produkt 0 sein, so muss einer der Faktoren 0 sein, d.h. das Polynom hat Nullstellen, wenn entweder [mm] x^{2} [/mm] oder [mm] x^{4}-2*x^{2}-8 [/mm] gleich Null ist.
Man erhält für [mm] x^{2} [/mm] = 0 die beiden Nullstellen 0; 0.
Den anderen Faktor, der nun in einer "biquadratischen" Form vorliegt, setzt man auch gleich 0 und bedient sich des mittels der Substitution (d.h. man stellt eine neue Variable als Term der anderen dar):
[mm] x^{4}-2*x^{2}-8 [/mm] = 0
Substitution: [mm] x^{2} [/mm] = z
[mm] z^{2}-2*z-8 [/mm] = 0
Dies ist eine quadratische Gleichung, die nochmal 2 Lösungen für z liefert.
Hast du diese Lösungen, sind die entsprechenden Lösungen für x dann:
Wegen [mm] x^{2} [/mm] = z --> x = [mm] \wurzel{z}.
[/mm]
Dann hast du im besten Falle 6 Lösungen der Gleichung bestimmt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Mi 30.01.2008 | | Autor: | SeldaS |
Man würde nun folgendermaßen vorgehen:
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> [mm]x^{6}-2*x^{4}-8*x^{2}[/mm] = 0
>
> Ausklammern von [mm]x^{2}:[/mm]
>
> [mm]x^{2}*(x^{4}-2*x^{2}-8)[/mm] = 0
>
> Nun der Nutzen: Man weiss: Soll ein Produkt 0 sein, so muss
> einer der Faktoren 0 sein, d.h. das Polynom hat
> Nullstellen, wenn entweder [mm]x^{2}[/mm] oder [mm]x^{4}-2*x^{2}-8[/mm]
> gleich Null ist.
>
> Man erhält für [mm]x^{2}[/mm] = 0 die beiden Nullstellen 0; 0.
Aber woher weiß ich denn das ich für [mm] x^2 [/mm] die Nullstellen 0;0 erhalte? Wie komme ich darauf?
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Hallo,
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> Man würde nun folgendermaßen vorgehen:
> >
> > [mm]x^{6}-2*x^{4}-8*x^{2}[/mm] = 0
> >
> > Ausklammern von [mm]x^{2}:[/mm]
> >
> > [mm]x^{2}*(x^{4}-2*x^{2}-8)[/mm] = 0
> >
> > Nun der Nutzen: Man weiss: Soll ein Produkt 0 sein, so muss
> > einer der Faktoren 0 sein, d.h. das Polynom hat
> > Nullstellen, wenn entweder [mm]x^{2}[/mm] oder [mm]x^{4}-2*x^{2}-8[/mm]
> > gleich Null ist.
> >
> > Man erhält für [mm]x^{2}[/mm] = 0 die beiden Nullstellen 0; 0.
> Aber woher weiß ich denn das ich für [mm]x^2[/mm] die Nullstellen
> 0;0 erhalte? Wie komme ich darauf?
>
Wenn du [mm] x^{2}=0 [/mm] setzt erhältst du als Lösungen [mm] x_{1;2}=\pm\wurzel{0}.
[/mm]
Du ziehst ja die Wurzel. Null hat kein Vorzeichen, also ist die Lösung null.
Wie kommt man darauf? steppenhahn hatte es ja oben bereits geschrieben, man macht sich zunutze, dass bei einem Pordukt null erhalten wird wenn einer der beiden Faktoren null ist. Und in diesem Fall wird eben [mm] x^{2} [/mm] null, wenn du die null einsetzt.
Liebe Grüße,
exeqter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:49 Mi 30.01.2008 | | Autor: | SeldaS |
Dankeschön für eure Hilfe! Jetzt hab ich es auch verstanden nochmals vielen Dank!
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> [mm]f(x)=x^6-2x^4-8x^2[/mm]
Zu lösen ist $f(x)=0$.
[mm] $0=x^6-2\,x^4-8\,x^2 [/mm] = [mm] x^2\,(x^4-2\,x^2-8) [/mm] = [mm] x^2\,(x^2+2)(x^2-4) [/mm] = [mm] x^2\,(x^2+2)(x-2)(x+2)$
[/mm]
Satz vom Nullprodukt liefert
$x=0$ doppelte Lösung
[mm] $x^2+2 [/mm] = 0$ liefert keine reellen Lösungen (aufgefasst als Parabel [mm] $y=x^2+2$ [/mm] ist diese nach oben geöffnet, der Scheitel liegt oberhalb der $x$-Achse. Es können sich keine Schnittpunkte mit der $x$-Achse ergeben.
$x= [mm] \pm [/mm] 2$ als Lösungen von $(x+2)(x-2)=0$.
Eine doppelte Lösung (Berührpunkt im Schaubild im Ursprung).
Zwei einfache Lösungen, d.h. Schnittpunkte mit der $x$-Achse.
Wer geschickt faktorisiert, spart sich die Substitution.
Gruß
mathemak
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