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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Bitte um Kontrolle Extrema!
Bitte um Kontrolle Extrema! < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Bitte um Kontrolle Extrema!: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:33 Sa 30.08.2008
Autor: Surfer

Hallo, habe hier folgende Rechnung zu Extrema unter Nebenbedingung gerechnet und nun einige Punkte herausbekommen, jedoch habe ich keine Lösung, deshalb möchte ich überprüfen lassen ob die Punkte stimmen können:

Aufgabe (hab es hier mit der nebenbedingung a) gemacht):
[Dateianhang nicht öffentlich]

Punkte:
P1(0/0)
P2(1/0)
P3(-1/0)
P4(0/1)
P5(0/-1)
[mm] P6(\wurzel{1/2}/\wurzel{1/2}) [/mm]
[mm] P7(-\wurzel{1/2}/\wurzel{1/2}) [/mm]
[mm] P8(\wurzel{1/2}/-\wurzel{1/2}) [/mm]
[mm] P9(-\wurzel{1/2}/-\wurzel{1/2}) [/mm]

lg Surfer


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Bitte um Kontrolle Extrema!: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:38 Sa 30.08.2008
Autor: angela.h.b.

Hallo,

mir käm's schon sinnvoll vor, wenn Du zumindest die Lagrangefunktion und die partiellen Ableitungen dazuschreiben würdest.

Gruß v. Angela

Bezug
        
Bezug
Bitte um Kontrolle Extrema!: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:50 Sa 30.08.2008
Autor: MathePower

Hallo Surfer,

> Hallo, habe hier folgende Rechnung zu Extrema unter
> Nebenbedingung gerechnet und nun einige Punkte
> herausbekommen, jedoch habe ich keine Lösung, deshalb
> möchte ich überprüfen lassen ob die Punkte stimmen können:
>  
> Aufgabe (hab es hier mit der nebenbedingung a) gemacht):
>  [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> Punkte:
>  P1(0/0)
>  P2(1/0)
>  P3(-1/0)
>  P4(0/1)
>  P5(0/-1)
>  [mm]P6(\wurzel{1/2}/\wurzel{1/2})[/mm]
>  [mm]P7(-\wurzel{1/2}/\wurzel{1/2})[/mm]
>  [mm]P8(\wurzel{1/2}/-\wurzel{1/2})[/mm]
>  [mm]P9(-\wurzel{1/2}/-\wurzel{1/2})[/mm]


Der Punkt P1 gehört nach meiner Rechnung nicht dazu, weil die Nebenbedingung [mm]x^{2}+y^{2}=1[/mm] nicht erfüllt ist.


>  
> lg Surfer
>  


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Bitte um Kontrolle Extrema!: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:02 Sa 30.08.2008
Autor: Surfer

wie sehe ich das, dass die nebenbedingung nicht erfüllt ist?, aber sonst ist es ok so?

lg Surfer

Bezug
                        
Bezug
Bitte um Kontrolle Extrema!: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:37 Sa 30.08.2008
Autor: MathePower

Hallo Surfer,


> wie sehe ich das, dass die nebenbedingung nicht erfüllt

In dem Du prüfst ob [mm]x^{2}+y^{2}=1[/mm] gilt.

Ich weiss nicht, wie Du auf den Punkt [mm]}\left(0,0\right)[/mm] gekommen bist.

Jedenfalls das entsprechende Gleichungssystem liefert diesen Punkt nicht.

[mm]f\left(x,y\right)=x^{2}y^{2}-x^{2}-y^{2}+1[/mm]

unter der Nebenbedingung

[mm]n\left(x,y\right)=x^{2}+y^{2}-1[/mm]

liefert dann das folgenden Gleichungssystem:

[mm]\bruch{\partial}{\partial x}\left(f\left(x,y\right)-\lambda*n\left(x,y\right)\right)=0[/mm]

[mm]\bruch{\partial}{\partial y}\left(f\left(x,y\right)-\lambda*n\left(x,y\right)\right)=0[/mm]

[mm]n\left(x,y\right)=0[/mm]

> ist?, aber sonst ist es ok so?


Die anderen Punkte sind ok so.


>  
> lg Surfer


Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Bitte um Kontrolle Extrema!: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:40 So 31.08.2008
Autor: bigalow

Wie kommt man den auf P6-P9?

Die drei Gleichungen bei a):

$x²+y²=1$
[mm] $2x(y²-1+\lambda)=0$ [/mm]
[mm] $2y(x-1+\lambda)=0$ [/mm]



Bezug
                                        
Bezug
Bitte um Kontrolle Extrema!: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 So 31.08.2008
Autor: MathePower

Hallo bigalow,

> Wie kommt man den auf P6-P9?
>  
> Die drei Gleichungen bei a):
>  
> [mm]x²+y²=1[/mm]
>  [mm]2x(y²-1+\lambda)=0[/mm]

>  [mm]2y(x-1+\lambda)=0[/mm]


Das sollte doch

[mm]2y(x^{2}-1+\lambda)=0[/mm]

heißen.


>  
>  


Aus der zweiten Gleichung folgt:

[mm]x=0 \vee y^{2}-1+\lambda=0[/mm]

Nun den Fall x=0 bzw. y=0 haben wir schon abgarbeitet.

Bleibt also [mm]y^{2}-1+\lambda=0[/mm], woraus sich

[mm]y^{2}=1-\lambda[/mm]

ergibt.

Aus der ersten Gleichung ergibt sich dann:

[mm]x^{2}+y^{2}=1 \Rightarrow x^{2}=1-y^{2}=1-\left(1-\lambda\right)=\lambda[/mm]

Eingesetzt in die verbleibende Gleichung:

[mm]x^{2}-1+\lambda=0 \gdw \lambda-1+\lambda=2\lambda-1=0 \Rightarrow \lambda=\bruch{1}{2}[/mm]

Hieraus ergibt sich:

[mm]x^{2}=\lambda=\bruch{1}{2} \Rightarrow x= \pm \bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]

[mm]y^{2}=1-\lambda=1-\bruch{1}{2}=\bruch{1}{2} \ \Rightarrow y= \pm \bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]

Jetzt mußt Du nur noch jede x-Lösung mit jeder y-Lösung kombinieren und Du erhältst P6-P9.

Gruß
MathePower

Bezug
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