Blockmatrix/Determinante, C=0 < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien n,m [mm] \in \IN
[/mm]
A [mm] \in M_{n \times n } (\IK), B\in M_{n \times m} (\IK), [/mm] D [mm] \in M_{m \times m} (\IK)
[/mm]
Zeige
[mm] det(\pmat{ A & B \\ 0 & D}= [/mm] det(A) * det(D) |
[mm] G:=\pmat{ A & B \\ 0 & D}
[/mm]
G= [mm] \pmat{ I_n & 0 \\ 0 & D} [/mm] * [mm] \pmat{A&B\\0&I_m} [/mm]
nach Multiplikation der Blockmatrizen
[mm] S:=\pmat{ I_n & 0 \\ 0 & D}
[/mm]
T:= [mm] \pmat{A&B\\0&I_m}
[/mm]
det (G) = det(ST)= det (S) * det(T)
det(S)=?
det(T)=?
det(S)= [mm] \sum_{i=1}^{m+n} (-1)^{i+j} s_{ij} [/mm] det [mm] (S_{(ij)})
[/mm]
det(T)= [mm] \sum_{i=1}^{m+n} (-1)^{i+j} t_{ij} [/mm] det [mm] (T_{(ij)})
[/mm]
Mir ist schon theoretisch klar, dass det(S) = det (D)
det(T)=det(A)
aber wie zeige ich das? Und wie finde ich vorallem das Vorzeichen raus!??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 Sa 10.03.2012 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Seien n,m [mm]\in \IN[/mm]
> A [mm]\in M_{n \times n } (\IK), B\in M_{n \times m} (\IK),[/mm]
> D [mm]\in M_{m \times m} (\IK)[/mm]
> Zeige
> [mm]det(\pmat{ A & B \\
0 & D}=[/mm] det(A) * det(D)
> [mm]G:=\pmat{ A & B \\
0 & D}[/mm]
> G= [mm]\pmat{ I_n & 0 \\
0 & D}[/mm] *
> [mm]\pmat{A&B\\
0&I_m}[/mm]
also bis hierher:
[mm]det\pmat{ A & B \\
0 & D}=det\left ( \pmat{ I_n & 0 \\
0 & D}*\pmat{A&B\\
0&I_m} \right )=det \pmat{ I_n & 0 \\
0 & D}*det\pmat{A&B\\
0&I_m} [/mm]
[mm]det \pmat{ I_n & 0 \\
0 & D}=det(D)[/mm] nach Laplaceschem Entwicklungssatz.
Mit Hilfe von [mm]I_m[/mm] kann B durch elementare Zeilenumformungen, die den Wert der Determinante nicht ändern dürfen (ich glaube, diese Zeilenumformungen müssen eine bestimmte Form haben - musst du mal in dein Skript schauen), kann B zu einer Nullmatrix gemacht werden.
So ist dann nach den elementaren Zeilenumformungen, die den Wert der Determinante nicht verändern:
[mm]det\pmat{A&B\\
0&I_m} =det\pmat{A&0\\
0&I_m} =det(A)[/mm] - letzte Schritt nach Laplaceschem Entwicklungssatz.
> nach Multiplikation der Blockmatrizen
>
> [mm]S:=\pmat{ I_n & 0 \\
0 & D}[/mm]
> T:= [mm]\pmat{A&B\\
0&I_m}[/mm]
> det (G) = det(ST)= det (S) * det(T)
>
> det(S)=?
> det(T)=?
>
> det(S)= [mm]\sum_{i=1}^{m+n} (-1)^{i+j} s_{ij}[/mm] det [mm](S_{(ij)})[/mm]
> det(T)= [mm]\sum_{i=1}^{m+n} (-1)^{i+j} t_{ij}[/mm] det
> [mm](T_{(ij)})[/mm]
>
> Mir ist schon theoretisch klar, dass det(S) = det (D)
> det(T)=det(A)
> aber wie zeige ich das? Und wie finde ich vorallem das
> Vorzeichen raus!??
Gruß
barsch
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> Hi,
>
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> > Seien n,m [mm]\in \IN[/mm]
> > A [mm]\in M_{n \times n } (\IK), B\in M_{n \times m} (\IK),[/mm]
> > D [mm]\in M_{m \times m} (\IK)[/mm]
> > Zeige
> > [mm]det(\pmat{ A & B \\
0 & D}=[/mm] det(A) * det(D)
> > [mm]G:=\pmat{ A & B \\
0 & D}[/mm]
> > G= [mm]\pmat{ I_n & 0 \\
0 & D}[/mm]
> *
> > [mm]\pmat{A&B\\
0&I_m}[/mm]
>
> also bis hierher:
>
> [mm]det\pmat{ A & B \\
0 & D}=det\left ( \pmat{ I_n & 0 \\
0 & D}*\pmat{A&B\\
0&I_m} \right )=det \pmat{ I_n & 0 \\
0 & D}*det\pmat{A&B\\
0&I_m}[/mm]
>
> [mm]det \pmat{ I_n & 0 \\
0 & D}=det(D)[/mm] nach Laplaceschem
> Entwicklungssatz.
>
> Mit Hilfe von [mm]I_m[/mm] kann B durch elementare
> Zeilenumformungen, die den Wert der Determinante nicht
> ändern dürfen (ich glaube, diese Zeilenumformungen
> müssen eine bestimmte Form haben - musst du mal in dein
> Skript schauen), kann B zu einer Nullmatrix gemacht werden.
> So ist dann nach den elementaren Zeilenumformungen, die den
> Wert der Determinante nicht verändern:
>
> [mm]det\pmat{A&B\\
0&I_m} =det\pmat{A&0\\
0&I_m} =det(A)[/mm] -
!! > letzte Schritt nach Laplaceschem Entwicklungssatz.
Muss man diesen SChritt auch zeigen, es ist ja theoretisch logisch. ABer muss ich das auch praktisch zeigen?
Kann ich das oben auch so hinschreiben als Erlärung ohne sie auszuführen ?
Vielen dank.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 So 11.03.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
ob du das zeigen musst... mhhh, kommt auf den Tutor an. Aber eigentlich ist das ja nicht so schwer.
[mm] det\pmat{A&B\\
0&I_m} =det\pmat{A&0\\
0&I_m} =det(A) [/mm]
Die 1. Gleichheit ist da schon wichtiger!
Ansonsten:
[mm]det\pmat{A&0\\
0&I_m} =1*det\pmat{A&0\\
0&I_{m-1}}=1^2*det\pmat{A&0\\
0&I_{m-2}}=...=det(A)[/mm]
Ziel solcher Aufgaben ist, dass du ein Verständnis für die Rechenregeln entwickelst. Deswegen ist auch sehr wichtig, dass du immer hinschreibst, welche Regel du aus der Vorlesung verwendest! Denn nur das darfst du benutzen: Bekanntes aus der VL!
Gruß
barsch
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Okay das ist dann schon klar.
Ich hätte nur noch eine Frage zu dem Gleichheitszeichen:
$ [mm] det\pmat{A&B\\ 0&I_m} =det\pmat{A&0\\ 0&I_m} [/mm]
> ich glaube, diese Zeilenumformungen
> müssen eine bestimmte Form haben - musst du mal in dein
> Skript schauen
Naja man darf [mm] \lambda [/mm] * Zeile zu einer anderen Zeile dazuaddieren
Bei vertauschen von Zeilen musse man aber das Vorzeichen ändern
und beim Multiplizieren mit [mm] \lambda [/mm] einer Zeile muss man den Wert auch vor der Determinante multiplizieren.
Kann man diese Zeilenumformungen auch so allgemein " als formel" hinschreiben? Oder reicht das, wenn man so argumentiert wie in deinem ersten beitrag?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:51 So 11.03.2012 | | Autor: | barsch |
> Okay das ist dann schon klar.
> Ich hätte nur noch eine Frage zu dem Gleichheitszeichen:
> $ [mm]det\pmat{A&B\\
0&I_m} =det\pmat{A&0\\
0&I_m}[/mm]
>
> > ich glaube, diese Zeilenumformungen
> > müssen eine bestimmte Form haben - musst du mal in
> dein
> > Skript schauen
> Naja man darf [mm]\lambda[/mm] * Zeile zu einer anderen Zeile
> dazuaddieren
richtig - ohne, dass sich die Determinante ändert. Du kannst also B zu einer Nullmatrix machen, ohne dass sich die Determinante ändert, weil du lediglich ein Vielfaches einer Zeile von einer anderen Zeile subtrahierst.
> Bei vertauschen von Zeilen musse man aber das Vorzeichen
> ändern
das brauchst du ja nicht!
> und beim Multiplizieren mit [mm]\lambda[/mm] einer Zeile muss man
> den Wert auch vor der Determinante multiplizieren.
>
> Kann man diese Zeilenumformungen auch so allgemein " als
> formel" hinschreiben? Oder reicht das, wenn man so
> argumentiert wie in deinem ersten beitrag?
Ich würde es bei einer Argumentation belassen. Zu der Argumentation aus meiner 1. Antwort, würde ich noch so etwas hinzufügen, wie: Wenn man ein Vielfaches einer Zeile von I von einer Zeile von B subtrahiert, ändert sich die Determinante nicht wegen Satz/Regel "soundso" aus VL.
Gruß
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| Aufgabe | Selbe Vorraussetzungen an die Matrizen wie in Beitrag 1
Berechne det [mm] (\pmat{ A & B \\ C & 0 }) [/mm] |
Danke ist alles klar ;)
Ich hatte gedacht hier kann man vlt mit det(A) = [mm] det(A^t) [/mm] was anfangen um [mm] det(\pmat{ A & 0 \\ C& D}=det(\pmat{ A & B \\ 0& D}= [/mm] det(A) * det(D) anzuwenden.
ABer dann bring ich doch auch die Blockmatrizen durcheinander?
Dann hat ich noch an vertauschung der Zeilen gedacht. Aber da bin ich dann auch stecken geblieben. weil ich nicht weiß, wie oft ich tauschen müsste.
die Matrix ist eine (n+m) x (n+m) Matrix.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 So 11.03.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Selbe Vorraussetzungen an die Matrizen wie in Beitrag 1
> Berechne det [mm](\pmat{ A & B \\
C & 0 })[/mm]
> Danke ist alles
> klar ;)
>
> Ich hatte gedacht hier kann man vlt mit det(A) = [mm]det(A^t)[/mm]
Die Idee ist doch gut.
> was anfangen um [mm]det(\pmat{ A & 0 \\
C& D}=det(\pmat{ A & B \\
0& D}=[/mm]
> det(A) * det(D) anzuwenden.
> ABer dann bring ich doch auch die Blockmatrizen
> durcheinander?
Naja, das macht der Determinante aber nix aus, denn ist [mm]Z=\pmat{ A & 0 \\
C & D } , Z^T=\pmat{ A^T & C^T \\
0 & D^T} [/mm] und dann [mm]det(Z)=det(Z^{T})[/mm].
Und dann argumentierst du wie zuvor.
> Dann hat ich noch an vertauschung der Zeilen gedacht. Aber
> da bin ich dann auch stecken geblieben. weil ich nicht
> weiß, wie oft ich tauschen müsste.
> die Matrix ist eine (n+m) x (n+m) Matrix.
>
Gruß
barsch
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Im prinzip ist das mit der transponierten, dann genau das selbe Bsp mit der selben Lösung?
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 So 11.03.2012 | | Autor: | barsch |
> Im prinzip ist das mit der transponierten, dann genau das
> selbe Bsp mit der selben Lösung?
Ja.
> Lg
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 Sa 10.03.2012 | | Autor: | barsch |
Ich nochmal,
oder du sagst gleich:
[mm] det\pmat{ A & B \\
0 & D}=det\left ( \pmat{ I_n & 0 \\
0 & D}\cdot{}\pmat{I_n&B\\
0&I_m}\cdot{}\pmat{A&0\\
0&I_m} \right )=det \pmat{ I_n & 0 \\
0 & D}\cdot{}det\pmat{I_n&B\\
0&I_m}\cdot{}det\cdot{}\pmat{A&0\\
0&I_m}[/mm]
[mm]\cdot{}det\pmat{I_n&B\\
0&I_m}=1[/mm], da Diagonalmatrix und damit ist Determinante gleich dem Produkt der Diagonaleinträge. Die beiden anderen Determinanten mit dem Argument aus meiner ersten Antwort.
Gruß
barsch
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