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| Aufgabe | Sei R der Ring der 2 × 2-Matrizen mit Einträgen aus den reellen Zahlen und S der Ring der 2 × 2 Matrizen mit Einträgen aus R. Eine Matrix A [mm] \in [/mm] S hat also zwei Zeilen und zwei Spalten, und jeder Eintrag ist eine 2 × 2 Matrix mit reellen Einträgen. Finde Matrizen A, B [mm] \in [/mm] S mit
[mm] (A\*B)^{T} \not= B^{T} \* A^{T}. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und auf keinen anderen Internetseiten gestellt.
Hallo =) ,
ich habe ausprobiert und bekomme heraus: [mm] (A\*B)^{T} [/mm] = [mm] B^{T} \* A^{T}.
[/mm]
A und B müssen ja Blockmatrizen sein, da sie in R sind. Nehmen wir an
A= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } A^{T}= \pmat{ a & c \\ b & d }
[/mm]
und
B= [mm] \pmat{ e & f \\ g & h } B^{T}= \pmat{ e & g \\ f & h }
[/mm]
[mm] (A\*B)= \pmat{ ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh }
[/mm]
und [mm] (A\*B)^{T} [/mm] = [mm] \pmat{ ae+bg & ce+dg \\ af+bh & cf+dh }
[/mm]
[mm] B^{T} \* A^{T} [/mm] = [mm] \pmat{ ae+bg & ce+dg \\ af+bh & cf+dh }
[/mm]
Also [mm] (A\*B)^{T} [/mm] = [mm] B^{T} \* A^{T} [/mm] ... hiermit habe ich gezeigt, dass das für alle Matrizen gilt, wie soll ich also welche finden, für die das nicht geht bzw. für die gilt: [mm] (A\*B)^{T} \not= B^{T} \* A^{T} [/mm] ?
Ich habe echt keine Idee =(
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Lies dir die Aufgabe genau durch!
> Sei R der Ring der 2 × 2-Matrizen mit Einträgen aus den
> reellen Zahlen und S der Ring der 2 × 2 Matrizen mit
> Einträgen aus R. Eine Matrix A [mm]\in[/mm] S hat also zwei Zeilen
> und zwei Spalten, und jeder Eintrag ist eine 2 × 2 Matrix
> mit reellen Einträgen. Finde Matrizen A, B [mm]\in[/mm] S mit
Mit anderen Worten
[mm]R=\{\pmat{a&b\\
c&d}\quad | a,b,c,d\in\IR\}[/mm]
[mm]S=\{\pmat{a&b\\
c&d}\quad | a,b,c,d\in R\}=\{\pmat{\pmat{a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}}&\pmat{b_{11}&b_{12}\\
b_{21}&b_{22}}\\
\pmat{c_{11}&c_{12}\\
c_{21}&c_{22}}&\pmat{d_{11}&d_{12}\\
d_{21}&d_{22}}}\quad | a_{ij},b_{ij},c_{ij},d_{ij} \in\IR\}[/mm]
und der jeweiligen Verknüpfung.
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Das habe ich schon bemerkt, aber a,b,c,d,e,f,g,h sollen bei mir Matrizen sein. Und selbst wenn ich es dann so ausschreibe wie du , würde sich doch nichts bei ändern. Es würde doch trotzdem immer eine Gleichheit raus kommen oder nicht?
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also ich habe das jetzt so durchgerechnet mit deiner schreibweise und ich habe tatsächlich was anderes heraus, aber weil ich dachte, dass ich mich vielleicht auch verrechnet habe, habe ich noch zahlen eingesetzt und das damit einmal ausgerechnet und da komme ich tatsächlich auch auf verschiedene ergebnisse, also dass keine gleichheit besteht. also müsste ich das jetzt haben, wenn ich mich nicht bei beiden verrechnet habe, nur gibt es vielleicht noch eine andere schreibweise, das aufzuschreiben? das ist ja extrem viel, wenn ich die blockmatrizen miteinander ausmultipliziere?
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In der Aufgabe steht doch
> Finde Matrizen A, B [mm] \in [/mm] S mit [mm] (A*B)^{T} \not= B^{T} * A^{T}. [/mm]
Meistens wirds einfacher, wenn man sich einfache Matrizen mit nur 0 oder 1 nimmt. Also wenn du ein Beispiel gefunden hast, dann bist du doch fertig.
Gesucht ist doch ein Gegenbeispiel. Das sollte schon recht präzise sein.
> also ich habe das jetzt so durchgerechnet mit deiner schreibweise und ich habe tatsächlich was anderes heraus
Das ist doch nicht nur ne andere Schreibweise
[mm] \pmat{\pmat{a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}}&\pmat{b_{11}&b_{12}\\
b_{21}&b_{22}}\\
\pmat{c_{11}&c_{12}\\
c_{21}&c_{22}}&\pmat{d_{11}&d_{12}\\
d_{21}&d_{22}}} \neq \pmat{a_{11}&\cdots&b_{12}\\
\vdots&\cdots&\vdots} [/mm]
Das sind völlig andere Elemente und somit auch ne völlig andere Multiplikation.
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