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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Fr 02.07.2010 | | Autor: | Kyrill87 |
| Aufgabe | Es sei:
[mm] f:[0,2\pi]\to\IR^{3} [/mm]
[mm] t\mapsto(t*sin(t).t*cos(t),t) [/mm]
Berechnen sie die Länge des Weges. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin jetz so vorgegangen:
[mm] L(f)=\integral_{0}^{2\pi}{\parallel f'\parallel dt}=\integral_{0}^{2\pi}{\parallel (t*cos(t),-sin(t)*t,1)\parallel}dt=\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{t^{2}cos^{2}(t)-sin^{2}(t)*t^{2}+1}}dt=\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{t^{2}*(cos^{2}(t)-sin^{2}(t))+1}}dt=\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{t^{2}+1}}dt
[/mm]
subst: [mm] u=t^{2}+1 [/mm] du=2tdt [mm] \Rightarrow dt=\bruch{du}{2t}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2t}\integral_{0}^{4\pi}{\bruch{2t*\wurzel{u}}{2t}}du=\bruch{1}{2t}\integral_{0}^{4\pi}{\wurzel{u}}du=\bruch{1}{2t}*[\bruch{2}{3}*\wurzel{u^{3}}]_{0}^{4\pi}
[/mm]
Rücksubstituieren: [mm] u=t^{2}+1
[/mm]
[mm] \bruch{2}{6t}*[\wurzel{(t^{2}+1)^{3}}]_{0}^{4\pi}
[/mm]
Das ist doch aber schon nichts mehr gescheites... gibt es da noch irgendwelche sinussätze o.ä.??
Gruß Benny
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 Fr 02.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es sei:
> [mm]f:[0,2\pi]\to\IR^{3}[/mm]
> [mm]t\mapsto(t*sin(t).t*cos(t),t)[/mm]
>
> Berechnen sie die Länge des Weges.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich bin jetz so vorgegangen:
>
> [mm]L(f)=\integral_{0}^{2\pi}{\parallel f'\parallel dt}=\integral_{0}^{2\pi}{\parallel (t*cos(t),-sin(t)*t,1)\parallel}dt=\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{t^{2}cos^{2}(t)-sin^{2}(t)*t^{2}+1}}dt=\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{t^{2}*(cos^{2}(t)-sin^{2}(t))+1}}dt=\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{t^{2}+1}}dt[/mm]
Die Ableitung von f ist falsch ! Produktregel ! Sio ist z.B. $(tsin(t))'= sint+tcos(t)$
FRED
>
> subst: [mm]u=t^{2}+1[/mm] du=2tdt [mm]\Rightarrow dt=\bruch{du}{2t}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2t}\integral_{0}^{4\pi}{\bruch{2t*\wurzel{u}}{2t}}du=\bruch{1}{2t}\integral_{0}^{4\pi}{\wurzel{u}}du=\bruch{1}{2t}*[\bruch{2}{3}*\wurzel{u^{3}}]_{0}^{4\pi}[/mm]
>
> Rücksubstituieren: [mm]u=t^{2}+1[/mm]
>
> [mm]\bruch{2}{6t}*[\wurzel{(t^{2}+1)^{3}}]_{0}^{4\pi}[/mm]
>
> Das ist doch aber schon nichts mehr gescheites... gibt es
> da noch irgendwelche sinussätze o.ä.??
>
> Gruß Benny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Fr 02.07.2010 | | Autor: | Kyrill87 |
Okay, dann wäre es:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{t^{2}cos^{2}(t)+sin^{2}(t)+cos^{2}(t)-sin^{2}(t)+1}}dt
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{t^{2}*(cos^{2}(t)-sin^{2}(t))+sin^{2}(t)+cos^{2}(t)+1}}dt
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{t^{2}*1+1+1}}dt [/mm]
dann hätte ich [mm] \wurzel{t^{2}+2} [/mm] was wie bei [mm] \wurzel{t^{2}+1} [/mm] widerum zu nichts gescheitem führen würde...
Bin für jeden Tipp dankbar,
Gruß Benny
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Hiho,
Es gilt $f(t) = [mm] (t\cdot{}sin(t),t\cdot{}cos(t),t) [/mm] $
$f' = (sin(t) + tcos(t), cos(t) - tsin(t), 1)$
$ ||f'|| = [mm] \sqrt{(sin(t) + tcos(t))^2 + (cos(t) - tsin(t))^2 +1} [/mm] = [mm] \sqrt{sin^2(t) + t^2cos^2(t) + cos^2(t) + t^2sin^2(t) + 1} [/mm] = [mm] \sqrt{t^2 + 1 +1} [/mm] = [mm] \sqrt{t^2 + 2} [/mm] $
bis auf die Tatsache, dass du konsequent unter deiner Wurzel ein falsches $-$ mitziehst, was dann beim zusammenfassen anscheinend doch zum $+$ wird, scheint es jetzt zu stimmen......
Und du hast recht, da kommt wirklich nichts schönes raus, aber zumindest ist es lösbar.
Ich vermute einfach, du hast dich bei der Funktion vertan und die soll eigentlich
$f(t) = [mm] (r\cdot{}sin(t),r\cdot{}cos(t),t)$
[/mm]
oder
$f(t) = [mm] (r\cdot{}sin(t),r\cdot{}cos(t),r)$
[/mm]
heißen.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Fr 02.07.2010 | | Autor: | Kyrill87 |
Nee, bei der Aufgabe habe ich mich nicht vertan, ist so Klausuraufgabe... wirklich mit überall t!
- hat ich aus versehen mitlaufen,
wir hatten auch noch eine Erklärung zum sinh und cosh dazu, bzw. die sätze zu diesen beiden, aber ich wusste nicht wirklich, wie ich aus nem sin(t) nen sinh(t) machen sollte.. o.ä.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 Fr 02.07.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Ist das jetzt ne Frage oder brauchst keine Hilfe mehr?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Fr 02.07.2010 | | Autor: | Kyrill87 |
Nee, reicht mir soweit mit dem [mm] \wurzel{t^{2}+2} [/mm] , ich frag am besten mal den Prof. was er mit den Sinus und Cosinus Hyperbolicus gemeint hat.
Aber danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:26 Fr 02.07.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
naja, wenn du [mm] \sqrt{t^2+2} [/mm] integrierst, kommt da was mit der Umkehrfunktion von sinh raus 
MFG,
Gono.
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