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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Sa 07.05.2011 | | Autor: | E-fun |
Hallo zusammen,
bei diesem wunderschönen Wetter versuche ich zu integriene und es klappt nicht!
Die Aufgabestellung ist die Bogenlänge der Kurve
y=ln(cos x), x [mm] \in [\bruch{\pi}{6},\bruch{\pi}{4}]
[/mm]
Dabei ist ja die Bogenlänge:
[mm] \integral_{a}^{b}{ds}
[/mm]
nun habe ich für die kartesischen Koordinaten die Gleichung für das Differential
[mm] ds=\wurzel{1+(y')^2}
[/mm]
y=ln(cos x) abgeleitet ist -tan x
das setze ich ein
[mm] S=\integral_{\bruch{\pi}{6}}^{\bruch{\pi}{4}}{\wurzel{1+(-tan x)^2} dx}
[/mm]
ich substituiere -tan x mit sinh x und leite ab [mm] \bruch{du}{dx}=cosh [/mm] x
dann habe ich
[mm] S=\integral_{\bruch{\pi}{6}}^{\bruch{\pi}{4}} {\bruch{\wurzel{1+(sinh x)^2}}{cosh x}}du
[/mm]
Den Zähler kann ich durch cosh x ersetzen und habe ein simples
[mm] S=\integral_{\bruch{\pi}{6}}^{\bruch{\pi}{4}} [/mm] 1du
nach dem Integrieren ist
[mm] [x]^\bruch{\pi}{4}_\bruch{\pi}{6}
[/mm]
jetzt substituiere ich zurück
-tanx=x
[mm] [-tanx]^\bruch{\pi}{4}_\bruch{\pi}{6}
[/mm]
ist
[mm] -tan\bruch{\pi}{4}-(-tan\bruch{\pi}{6})= [/mm] falsches Ergebnis!
Wo mache ich den, oder die Fehler?
Ich vermute, dass der erste Fehler etwas mit dem Wetter zu tun hat,... :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo E-fun,
> Hallo zusammen,
>
> bei diesem wunderschönen Wetter versuche ich zu integriene
> und es klappt nicht!
>
> Die Aufgabestellung ist die Bogenlänge der Kurve
>
> y=ln(cos x), x [mm]\in [\bruch{\pi}{6},\bruch{\pi}{4}][/mm]
>
>
> Dabei ist ja die Bogenlänge:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{ds}[/mm]
>
> nun habe ich für die kartesischen Koordinaten die
> Gleichung für das Differential
>
> [mm]ds=\wurzel{1+(y')^2}[/mm]
>
> y=ln(cos x) abgeleitet ist -tan x
>
> das setze ich ein
>
>
> [mm]S=\integral_{\bruch{\pi}{6}}^{\bruch{\pi}{4}}{\wurzel{1+(-tan x)^2} dx}[/mm]
>
Vereinfache zunächst den Integranden.
>
> ich substituiere -tan x mit sinh x und leite ab
> [mm]\bruch{du}{dx}=cosh[/mm] x
>
> dann habe ich
>
>
> [mm]S=\integral_{\bruch{\pi}{6}}^{\bruch{\pi}{4}} {\bruch{\wurzel{1+(sinh x)^2}}{cosh x}}du[/mm]
>
> Den Zähler kann ich durch cosh x ersetzen und habe ein
> simples
>
> [mm]S=\integral_{\bruch{\pi}{6}}^{\bruch{\pi}{4}}[/mm] 1du
>
> nach dem Integrieren ist
>
> [mm][x]^\bruch{\pi}{4}_\bruch{\pi}{6}[/mm]
>
> jetzt substituiere ich zurück
>
> -tanx=x
>
>
> [mm][-tanx]^\bruch{\pi}{4}_\bruch{\pi}{6}[/mm]
>
> ist
>
> [mm]-tan\bruch{\pi}{4}-(-tan\bruch{\pi}{6})=[/mm] falsches
> Ergebnis!
>
> Wo mache ich den, oder die Fehler?
>
>
>
>
> Ich vermute, dass der erste Fehler etwas mit dem Wetter zu
> tun hat,... :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Sa 07.05.2011 | | Autor: | E-fun |
Kannst du etwas konkreter werde?
in welche Richtung soll ich den Integranden vereinfachen?
Ich betreibe ja schon den ganzen Aufwand mit der Substitution um den Integranden zu vereinfachen.
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Hallo E-Fun,
> Kannst du etwas konkreter werde?
>
> in welche Richtung soll ich den Integranden vereinfachen?
>
> Ich betreibe ja schon den ganzen Aufwand mit der
> Substitution um den Integranden zu vereinfachen.
Schreibe
[mm]\tan\left(x\right)=\bruch{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}[/mm]
Dann ist [mm]1+\tan^{2}\left(x\right)= \ ... [/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Sa 07.05.2011 | | Autor: | E-fun |
Ich muss zugeben, dass ich den Zweck dieser Vorgehensweise immer noch nicht erkenne.
Bei der Ableitung von ln(cos x) hatte ich als Zwischenergebnis schon die [mm] -\bruch{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}. [/mm] Habe ich gegen -tan x ersetzt, da es mir für die Substitution sinnvoll erschien.
Hat deine Vorgehensweises etwas mit dem Verhältnis
[mm] sin^{2}x+cos^{2}x=1 [/mm]
zu tun?
Gruß
E-fun
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Hallo E-fun,
> Ich muss zugeben, dass ich den Zweck dieser Vorgehensweise
> immer noch nicht erkenne.
> Bei der Ableitung von ln(cos x) hatte ich als
> Zwischenergebnis schon die
> [mm]-\bruch{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}.[/mm] Habe ich
> gegen -tan x ersetzt, da es mir für die Substitution
> sinnvoll erschien.
>
> Hat deine Vorgehensweises etwas mit dem Verhältnis
> [mm]sin^{2}x+cos^{2}x=1[/mm]
Ja, das hat es.
>
> zu tun?
>
> Gruß
> E-fun
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Sa 07.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) natürlich den Rat von M
aber dein Fehler:
ich substituiere -tan x mit sinh x und leite ab
> $ [mm] \bruch{du}{dx}=cosh [/mm] $ x
das ist falsch! denn du hast ja nicht x sondern tanx substituiert. also x=artan(sinh(x))) ooder sinh(u)=tanx
Gruss leduart
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