Bogenlänge, Krümmung, Kreis < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Di 11.12.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Gegeben ist ein kreis K: [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] =4
Gib eine Bogenlängenparameterisierung dieses kreises an.
berechne den Einheitstangeltialvektor T(x,y) an den kreis K
Gib die Krümmung [mm] \kappa [/mm] (x,y) des kreises K im Punkt (x,y) [mm] \in [/mm] K an |
Hallo
ich habe eigentlich keine schwierigkeiten, die Aufgabe sind aber wichtig - deshalb poste ich meine Antworten:
1)
s= [mm] \phi(t) [/mm] := [mm] \int_a^t [/mm] || [mm] \gamma'(\tau) [/mm] || d [mm] \tau
[/mm]
[mm] \gamma [/mm] : [0, [mm] 2\pi] ->\IR^2
[/mm]
[mm] \gamma(\tau) =\vektor{2 cos \tau \\ 2 * sin \tau}, \tau \in [/mm] [0, [mm] 2\pi]
[/mm]
[mm] \gamma' (\tau)= \vektor{-2 sin \tau \\ 2 * cos \tau}
[/mm]
s= [mm] \phi(t) [/mm] = [mm] \int_0^t \sqrt{4 sin^2 \tau + 4 cos^2 \tau} [/mm] d [mm] \tau [/mm] = [mm] \int_0^t [/mm] 2 d [mm] \tau [/mm] = 2t
s= 2t
<=> t = s/2
[mm] \sigma(s) [/mm] = [mm] \gamma(\phi^{-1} [/mm] (s))
[mm] \sigma(s) [/mm] = [mm] \gamma(t)
[/mm]
[mm] \sigma(s)= [/mm] 2 * [mm] \vektor{cos (s/2) \\ sin(s/2)}
[/mm]
2)
Falls [mm] \gamma'(t) \not=0 [/mm] -> [mm] \frac{\gamma'(t)}{||\gamma'(t)||}
[/mm]
T(x,y)= [mm] \vektor{- sin \tau \\ cos \tau}
[/mm]
[mm] 3)\kappa [/mm] := 1/r
Kreisradius = 2
[mm] \kappa [/mm] = 1/2
LG
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Hallo quasimo,
> Gegeben ist ein kreis K: [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] =4
> Gib eine Bogenlängenparameterisierung dieses kreises an.
> berechne den Einheitstangeltialvektor T(x,y) an den kreis
> K
> Gib die Krümmung [mm]\kappa[/mm] (x,y) des kreises K im Punkt
> (x,y) [mm]\in[/mm] K an
> Hallo
> ich habe eigentlich keine schwierigkeiten, die Aufgabe
> sind aber wichtig - deshalb poste ich meine Antworten:
> 1)
> s= [mm]\phi(t)[/mm] := [mm]\int_a^t[/mm] || [mm]\gamma'(\tau)[/mm] || d [mm]\tau[/mm]
> [mm]\gamma[/mm] : [0, [mm]2\pi] ->\IR^2[/mm]
> [mm]\gamma(\tau) =\vektor{2 cos \tau \\ 2 * sin \tau}, \tau \in[/mm]
> [0, [mm]2\pi][/mm]
> [mm]\gamma' (\tau)= \vektor{-2 sin \tau \\ 2 * cos \tau}[/mm]
> s=
> [mm]\phi(t)[/mm] = [mm]\int_0^t \sqrt{4 sin^2 \tau + 4 cos^2 \tau}[/mm] d
> [mm]\tau[/mm] = [mm]\int_0^t[/mm] 2 d [mm]\tau[/mm] = 2t
> s= 2t
> <=> t = s/2
> [mm]\sigma(s)[/mm] = [mm]\gamma(\phi^{-1}[/mm] (s))
> [mm]\sigma(s)[/mm] = [mm]\gamma(t)[/mm]
> [mm]\sigma(s)=[/mm] 2 * [mm]\vektor{cos (s/2) \\ sin(s/2)}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2)
> Falls [mm]\gamma'(t) \not=0[/mm] ->
> [mm]\frac{\gamma'(t)}{||\gamma'(t)||}[/mm]
> T(x,y)= [mm]\vektor{- sin \tau \\ cos \tau}[/mm]
>
Jetzt musst Du den Vektor noch in Abhängigkeit von x und y setzen.
> [mm]3)\kappa[/mm] := 1/r
> Kreisradius = 2
> [mm]\kappa[/mm] = 1/2
>
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Di 11.12.2012 | | Autor: | quasimo |
> Jetzt musst Du den Vektor noch in Abhängigkeit von x und y setzen.
Ich sehe nicht wie ich das machen sollte..
Kannst du mir da vlt helfen?
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Hallo quasimo,
> > Jetzt musst Du den Vektor noch in Abhängigkeit von x und y
> setzen.
> Ich sehe nicht wie ich das machen sollte..
> Kannst du mir da vlt helfen?
Das kannst Du mit Hilfe der gewählten Parametrisierung lösen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Di 11.12.2012 | | Autor: | quasimo |
Diese habe ich jedoch für t und nicht für [mm] \tau..
[/mm]
LG
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Hallo quasimo,
> Diese habe ich jedoch für t und nicht für [mm]\tau..[/mm]
>
Die Parameter kannst Du doch nennen, wie Du willst.
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Di 11.12.2012 | | Autor: | quasimo |
Sry , dass ich nochmal nachfrage. Aber ich verstehe noch immer nicht, wie ich [mm] \tau [/mm] durch x und y ausdrücken soll. Vlt. stehe ich bei der Frage auf der leitung. Aber es mag mir nicht einfallen...
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:34 Di 11.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
woher du plützlich [mm] \tau [/mm] hast ist unklar, du kannst mit dem t am anfang, oder dem s parametriesieren . dann [mm] \gamma' [/mm] oder [mm] \sigma'
[/mm]
dann hast du z.B (-sint,cost)=(-y/2,x/2)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:24 Mi 12.12.2012 | | Autor: | quasimo |
Wie transformiert du um cos und sin wegzubekommen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 Mi 12.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hattest doch x=2sint, y=2cost
da "transformier" ich nix
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Mi 12.12.2012 | | Autor: | quasimo |
Omg bin ich blöd^^
Tut mir leid, dass ist das nicht gesehen habe...
LG
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