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| Aufgabe | Ermitteln Sie die Länge L des Stücks der Parabel [mm] y=x^2-1,
[/mm]
das unterhalb der x-Achse verläuft. |
Grenzen für das integral sind schnell gefunden 1 und -1.
Für die länge benutze ich die folgende formel:
[mm]\integral_{b}^{a} \wurzel{1+ (f'(x))^2} dx[/mm]
dann erhalte ich [mm]\integral_{-1}^{1} \wurzel{1+ 4x^2} dx [/mm]
Das würde ich substtituieren [mm] u=4x^2+1 [/mm] -> dx = 1/(8x) du
und einsetzten
[mm]\bruch{1}{8}\integral_{-1}^{1} \wurzel{u} * \bruch{1}{x}du[/mm]
dann [mm] u=4x^2+1 [/mm] nach x umstellen x= [mm]\wurzel{\bruch{u-1}{4}} [/mm] und für x einsetzten in die gleichung
[mm]\bruch{1}{8}\integral_{-1}^{1} \wurzel{u} * \bruch{1}{\wurzel{\bruch{u-1}{4}} }du[/mm]
und jetzt wird das integral für mich unlösbar
Kennt jemand einen weg dieses integral auch mit sinh zu schreiben???
laut wolfram alpha [mm] (https://www.wolframalpha.com/input/?i=arc+length+of+y%3Dx^2-1+from+x%3D-1+to+1) [/mm] gibt es noch eine lösung mit sinh die ich aber nicht nachvollziehen kann.
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Hallo bobbybrown,
> Ermitteln Sie die Länge L des Stücks der Parabel
> [mm]y=x^2-1,[/mm]
> das unterhalb der x-Achse verläuft.
> Grenzen für das integral sind schnell gefunden 1 und -1.
> Für die länge benutze ich die folgende formel:
>
> [mm]\integral_{b}^{a} \wurzel{1+ (f'(x))^2} dx[/mm]
> dann erhalte ich [mm]\integral_{-1}^{1} \wurzel{1+ 4x^2} dx[/mm]
> Das würde ich substtituieren [mm]u=4x^2+1[/mm] -> dx = 1/(8x) du
> und einsetzten
> [mm]\bruch{1}{8}\integral_{-1}^{1} \wurzel{u} * \bruch{1}{x}du[/mm]
> dann [mm]u=4x^2+1[/mm] nach x umstellen x= [mm]\wurzel{\bruch{u-1}{4}}[/mm]
> und für x einsetzten in die gleichung
> [mm]\bruch{1}{8}\integral_{-1}^{1} \wurzel{u} * \bruch{1}{\wurzel{\bruch{u-1}{4}} }du[/mm]
>
> und jetzt wird das integral für mich unlösbar
> Kennt jemand einen weg dieses integral auch mit sinh zu
> schreiben???
>
> laut wolfram alpha
> [mm](https://www.wolframalpha.com/input/?i=arc+length+of+y%3Dx^2-1+from+x%3D-1+to+1)[/mm]
> gibt es noch eine lösung mit sinh die ich aber nicht
> nachvollziehen kann.
>
Bei Wolfram Alpha wurde
[mm]x=\bruch{1}{2}\sinh\left(u\right)[/mm]
substituiert.
Hier ist dann [mm]dx=\bruch{1}{2}\cosh\left(u\right) \ du[/mm]
Weiter ist
[mm]1+\sinh^{2}\left(u\right)=\cosh^{2}\left(u\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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wieso kann ich $ [mm] x=\bruch{1}{2}\sinh\left(u\right) [/mm] $ substituieren ich dachte man darf nur ersetzten was man auch im integral stehen hat oder sind $ [mm] x=\bruch{1}{2}\sinh\left(u\right) [/mm] $ und [mm] 4x^2+1 [/mm] das gleiche
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:14 Fr 22.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> wieso kann ich [mm]x=\bruch{1}{2}\sinh\left(u\right)[/mm]
> substituieren ich dachte man darf nur ersetzten was man
> auch im integral stehen hat
Da irrst Du. Wer hat Dir so etwas gesagt ?
> oder sind
> [mm]x=\bruch{1}{2}\sinh\left(u\right)[/mm] und [mm]4x^2+1[/mm] das gleiche
Nein.
FRED
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