Bogenlänge berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Hallo ich habe ein Aufgabe bei der ich sehr große Probleme habe. Und zwar ist eine Bahnkurve durch [mm] $r(t)=r_0cos(\omega [/mm] t) [mm] e_x [/mm] + [mm] r_0sin(\omega t)e_y+v_0te_z.$
[/mm]
Ich soll nun die Bogenlänge [mm] $s=\integral_{0}^{t}\vert{r(t')\vert dt'}
[/mm]
Meine erste Frage wäre, wieso dort $t'$ steht. kann ich das einfach als $r(t)$ ansehen?
Und meine 2. Frage ist, wie integriere ich solche terme? Ich habe schon nach Integrationsregeln für trigonometrische Funktionen gesucht aber helfen tut mir dies leider nicht wirklich.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Mi 14.11.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo ich habe ein Aufgabe bei der ich sehr große Probleme
> habe. Und zwar ist eine Bahnkurve durch [mm]r(t)=r_0cos(\omega t) e_x + r_0sin(\omega t)e_y+v_0te_z.[/mm]
>
> Ich soll nun die Bogenlänge
> [mm]$s=\integral_{0}^{t}\vert{r(t')\vert dt'}[/mm]
das ist nicht die Bogenlänge, richtig ists so:
$s= [mm] \int_0^t|\dot r(t')|\,\mathrm [/mm] dt'$
>
> Meine erste Frage wäre, wieso dort [mm]t'[/mm] steht. kann ich das
> einfach als [mm]r(t)[/mm] ansehen?
Man hat dort t durch t' ersetzt, weil die Bogenlänge als Funktion von t angegeben werden soll. Dass man beim Integrieren nicht durcheinander kommt was nun Variable und was Integrationsgrenze ist ist es üblich die Variable mit einem Strich zu versehen.
>
> Und meine 2. Frage ist, wie integriere ich solche terme?
> Ich habe schon nach Integrationsregeln für
> trigonometrische Funktionen gesucht aber helfen tut mir
> dies leider nicht wirklich.
Berechne doch erstmal den Integranden und schau, ob dort überhaupt noch trigonometrische Terme auftauchen.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Der Integrand:
$ [mm] r(t)=-r_0sin(\omega [/mm] t) [mm] e_x [/mm] + [mm] r_0cos(\omega t)e_y+v_0e_z. [/mm] $
Soweit ist das richtig oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Mi 14.11.2012 | | Autor: | notinX |
> Der Integrand:
> [mm]r(t)=-r_0sin(\omega t) e_x + r_0cos(\omega t)e_y+v_0e_z.[/mm]
>
> Soweit ist das richtig oder?
Nein. Was ist der Integrand? Das hier [mm] $\rightarrow$ $|\dot [/mm] r(t')|$
Da stehen Betragsstriche, also kann der Integrand wohl kaum ein Vektor sein, außerdem stimmen die Ableitungen nicht (Kettenregel beachten).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Tut mir leid, falls das jetzt wieder falsch sein sollte aber ich bin nocht so erfahren damit:
[mm] $\wurzel{w^2r_0^2sin^2(\omega t) + w^2r_0^2cos^2(\omega t)+v_0^2} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Mi 14.11.2012 | | Autor: | notinX |
> Tut mir leid, falls das jetzt wieder falsch sein sollte
> aber ich bin nocht so erfahren damit:
Das braucht Dir nicht leid zu tun, wir sind ja hier um zu lernen 
> [mm]\wurzel{w^2r_0^2sin^2(\omega t) + w^2r_0^2cos^2(\omega t)+v_0^2}[/mm]
Jetzt stimmts. Wenn Du jetzt noch [mm] $w^2r_0^2$ [/mm] ausklammerst und verwendest, dass [mm] $\sin^2x+\cos^2x=1$ [/mm] wirst Du feststellen, dass der Term keine trigonometrischen Funktionen mehr enthält und das Integrieren sehr einfach wird.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
achso ok dann wird das zu :
$\wurzel{w^2r_0^2}\cdot{} \wurzel{1+\frac{v_0^2}{\wurzel{w^2r_0^2}}$?
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Hallo Duckx,
> achso ok dann wird das zu :
> [mm]\wurzel{w^2r_0^2}\cdot{} \wurzel{1+\frac{v_0^2}{\wurzel{w^2r_0^2}}[/mm]?
Das muss doch so lauten:
[mm]\wurzel{w^2r_0^2}\cdot{} \wurzel{1+\frac{v_0^2}{\left(\wurzel{w^2r_0^2}\right)^{2}}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:42 Mi 14.11.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo Mathepower,
> Hallo Duckx,
>
> > achso ok dann wird das zu :
> > [mm]\wurzel{w^2r_0^2}\cdot{} \wurzel{1+\frac{v_0^2}{\wurzel{w^2r_0^2}}[/mm]?
>
>
> Ja.
ich komme auf was anderes.
>
>
> Gruss
> MathePower
>
Gruß,
notinX
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Mi 14.11.2012 | | Autor: | notinX |
> achso ok dann wird das zu :
> [mm]\wurzel{w^2r_0^2}\cdot{} \wurzel{1+\frac{v_0^2}{\wurzel{w^2r_0^2}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
?
Nein, das stimmt so nicht:
$\wurzel{w^2r_0^2}\cdot{} \wurzel{1+\frac{v_0^2}{w^2r_0^2}$
Ich meinte aber auch eher so:
$\wurzel{w^2r_0^2+v_0^2}$
Das sieht 'schöner' aus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Ok dankeschön :) mein Problem ist, dass ich doch jetzt überhaupt kein t mehr habe, wonach ich integrieren soll?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Mi 14.11.2012 | | Autor: | notinX |
> Ok dankeschön :) mein Problem ist, dass ich doch jetzt
> überhaupt kein t mehr habe, wonach ich integrieren soll?
Das ist doch kein Problem, das vereinfacht die Integration ungemein, denn der Integrand ist nun bezüglich t konstant und Konstanten integrieren sollte nicht so schwer sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Dann wäre doch
[mm] $s=\wurzel{w^2r_0^2+v_0^2}\cdot{} [/mm] t $ ?
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Hallo Duckx,
> Dann wäre doch
> [mm]s=\wurzel{w^2r_0^2+v_0^2}\cdot{} t[/mm] ?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ich habe leider noch ein paar fragen.
Der Tangenteneinheitsvektor t lässt sich ja durch $t=\frac{dr}{\vertdr\vert}$ berechnen. Dabei steht aber nicht, wonach abgeleitet werden soll. Ich nehme an nach t?
Dann würde für $t=\frac{-wr_0sin(wt)e_x+wr_0cos(wt)e_y+v_0te_z}{\wurzel{w^2r_0^2+v_0^2}$ oder?
Lässt sich das noch iwie weiter vereinfachen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Mi 14.11.2012 | | Autor: | notinX |
> Ich habe leider noch ein paar fragen.
> Der Tangenteneinheitsvektor t lässt sich ja durch
> [mm]t=\frac{dr}{\vertdr\vert}[/mm] berechnen. Dabei steht aber
Der Tangenteneiheitsvektor ist:
[mm] $\vec t=\frac{\dot{\vec{r}}(t)}{|\dot{\vec{r}}(t)|}$
[/mm]
> nicht, wonach abgeleitet werden soll. Ich nehme an nach t?
Ja. Das steht da übrigens auch, denn der Punkt steht für die Ableitung nach der Zeit bzw. in der Vektoranalysis nach dem Kurvenparameter t.
>
> Dann würde für
> [mm]t=\frac{-wr_0sin(wt)e_x+wr_0cos(wt)e_y+v_0te_z}{\wurzel{w^2r_0^2+v_0^2}[/mm]
> oder?
Du hast vergessen, die z-Komponente abzuleiten.
>
> Lässt sich das noch iwie weiter vereinfachen?
Ich sehe keine Möglichkeit das nennenswert zu vereinfachen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Duckx |
ah ja und beim hauptnormaleneinheitsvektor bin ich mir allerdings nicht mehr so sicher wie ich das nun berechnen soll.
Der Nenner von t nach t abgeleitet ergibt ja 0 wenn ich das richtig sehe.
also hätte ich da [mm] $dt=\frac{-w^2r_0cos(wt)e_x-w^2r_0sin(wt)e_y}{w^2r_0^2+v_0^2}$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Mi 14.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
was soll das dt sein?
bitte nimm für den Parameter t und den Tangentialvektor verschiedene Zeichen, so sehen deine gl. alle recht unsinnig aus.
sag jeweils, was du gerechnet hast.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Ich habe versucht den vorher berechneten tangenteneinheitsvektor nach t abzuleiten.
Um so schritt für schritt den Hauptnormaleneinheitsvektor zu bekommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Mi 14.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn T Tangentenvektor ist hast du dT/dt richtug gebildet.
Grus leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Also wenn T der Tangenteneinheitsvektor ist und n der Hauptnormalenvektor
ist. sowie s die Bogenlänge.
Dann berechnet sich doch n wie folgt : $\frac{\frac{dT/dt}{ds/dt}}{\vert\frac{dT/dt}{ds/dt}\vert} oder?
$dT/dt=\frac{-w^2r_0cos(wt)e_x-w^2r_0sin(wt)e_y}{w^2r_0^2+v_0^2} $
$ds/dt=\wurzel{w^2r_0^2+v_0^2}$
$\frac{dT/dt}{ds/dt}=\frac{-w^2r_0cos(wt)e_x-w^2r_0sin(wt)e_y}{(w^2r_0^2+v_0^2)^{\frac{3}{2}} $
Ist das soweit korrekt?
Mein Problem ist nun, den Betrag aus diesem kuddelmuddel zu bekommen.
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Hallo Duckx,
> Also wenn T der Tangenteneinheitsvektor ist und n der
> Hauptnormalenvektor
> ist. sowie s die Bogenlänge.
> Dann berechnet sich doch n wie folgt :
> [mm]$\frac{\frac{dT/dt}{ds/dt}}{\vert\frac{dT/dt}{ds/dt}\vert}[/mm]
> oder?
>
Der Hauptnormaleneinheitsvektor n ergibt sich nach ![[]](/images/popup.gif) hier zu:
[mm]n=\bruch{\frac{dT}{dt}}{\vmat{\frac{dT}{dt}}}}[/mm]
> [mm]dT/dt=\frac{-w^2r_0cos(wt)e_x-w^2r_0sin(wt)e_y}{w^2r_0^2+v_0^2}[/mm]
> [mm]ds/dt=\wurzel{w^2r_0^2+v_0^2}[/mm]
>
> [mm]\frac{dT/dt}{ds/dt}=\frac{-w^2r_0cos(wt)e_x-w^2r_0sin(wt)e_y}{(w^2r_0^2+v_0^2)^{\frac{3}{2}}[/mm]
>
> Ist das soweit korrekt?
> Mein Problem ist nun, den Betrag aus diesem kuddelmuddel
> zu bekommen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Oh wir haben eine Definition des Hauptnormaleneinheitsvektors kennengelernt die durch die Differentiation von dem Tangenteneinheitsvektor nach der Bogenlänge gegeben ist.
Deswegen ist es wohl besser wenn ich es danach mache oder?
Ist es denn überhaupt richtig? Vll habe ich es in der Vorlesung auch falsch verstanden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
wenn jetzt
$ n=\bruch{\frac{dT}{dt}}{\vmat{\frac{dT}{dt}}}} $
und:
$ dT/dt=\frac{-w^2r_0cos(wt)e_x-w^2r_0sin(wt)e_y}{w^2r_0^2+v_0^2} $
Wie bekomme ich dann den Betrag?
ist das dann:
$ \vert dT/dt \vert=\wurzel{\frac{-w^4r_0^2cos^2(wt)-w^4r_0^2sin^2(wt)}{w^4r_0^4+2w^2r_0^2v_0^2+v_0^4}} $
?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Ich weiß ich bin ziemlich ungeduldig aber kann mir da bitte jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:04 Do 15.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du oben [mm] \omega^2*r_0 [/mm] ausklammerst und dann SKALAR mal Einheitsvektot [mm] (-cos..e_x-sin,,e_y [/mm] hast sollte es leicht sein den Betrag auszurechnen-
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Do 15.11.2012 | | Autor: | Duckx |
[mm] $\frac{\omega^2r_0 \cdot{} (\wurzel{cos^2(\omega t)}+\wurzel{sin^2(\omega t})}{\omega^2r_0^2+v_0^2}$
[/mm]
Tut mir leid, ich weiß wirklich nicht , was ich machen muss.
Ich hoffe mir kann das nochmal genauer erklärt werden, wenn ich das falsch hab, was ich denke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:23 Do 15.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
oben steht [mm] \wurzel{cos^2()+sin^2()} [/mm] und das sollte man ausrechnen können oder wissen, kam auch schon in dem thread vor.
du bist zu müde, den Quatsch mit der Summe der Wurzeln kann man nur volltrunken oder übermüdet machen. Geh ins Bett, steh lieber früher auf.
gute nacht leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:29 Do 15.11.2012 | | Autor: | Duckx |
ja ich bin müde, aber ich muss das noch schnell fertig bekommen :)
$ [mm] \frac{\omega^2r_0 \cdot{} \wurzel{1}}{\omega^2r_0^2+v_0^2} [/mm] $
Tut mir leid, falls ich schon wieder falsch liege.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Do 15.11.2012 | | Autor: | leduart |
HALLO
richtig
gruss leduart
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> Man hat dort t durch t' ersetzt, weil die Bogenlänge als
> Funktion von t angegeben werden soll. Dass man beim
> Integrieren nicht durcheinander kommt was nun Variable und
> was Integrationsgrenze ist ist es üblich die Variable mit
> einem Strich zu versehen.
... was aber meiner bescheidenen Meinung nach nicht
unbedingt eine das Verständnis fördernde Methode ist.
Das Strichlein wird doch im Zusammenhang der Analysis
hauptsächlich für Ableitungen verwendet.
Anstatt t und dt durch t' und dt' zu ersetzen, würde ich
dann schon eher die Tatsache ausnützen, dass unser
Alphabet noch ein paar weitere Buchstaben enthält
und also etwa u und du benützen ... oder meinetwegen
auch [mm] \tau [/mm] und [mm] d\tau [/mm] .
LG, Al
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