Bogenlänge einer Kurve < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:55 Di 07.03.2006 | | Autor: | foxi |
| Aufgabe | Sei die Kurve [mm] r(\varphi) [/mm] := [mm] 1 + \cos(\varphi)[/mm] , [mm] \varphi \in [ 0 , 2\pi ] [/mm] in Polarkoordinaten
gegeben.
a) Bestimmen Sie die Symmetrie(n) der Kurve.
b) Berechnen Sie die Bogenlänge der Kurve von [mm] \varphi [/mm] = 0 bis [mm] \varphi [/mm] = [mm] 2\pi. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Also a) müsste doch eigentlich symmetrisch zur y-Achse sein. In der Musterlösung steht aber symmetrisch zur x-Achse. Warum?
Bei b) komm ich nur bis [mm] 2* \integral_{0}^{2\pi} \cos (\bruch{\varphi}{2}) [/mm]
Wie geht es jetzt weiter hab absolut keinen Plan.
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Hallo,
wie berechnest du denn die Bogenlänge? Da muss doch noch etwas mit einer Wurzel kommen?! Ich habe etwas anderes raus!
VG Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 Di 07.03.2006 | | Autor: | foxi |
Erstmal [mm] \wurzel{r^2 + r'^2} [/mm]
= [mm]\wurzel{1 + 2\cos(\varphi) + \cos^2(\varphi) + \sin^2(\varphi)} [/mm]
= [mm] \wurzel{2 + 2\cos(\varphi)} [/mm]
Da jetzt 1+cos = [mm] 2\cos^2(\bruch{\varphi}{2}) [/mm]
--> [mm] \integral_{0}^{2\pi} \wurzel{4\cos^2(\bruch{\varphi}{2})} [/mm]
= [mm] \integral_{0}^{2\pi} 2\cos(\bruch{\varphi}{2}) [/mm] und dann die 2 vor dem cos vor das Integral ziehen.
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Hallo foxi!
Bei dem entstandenen Integral musst Du nun substituieren: $t \ := \ [mm] \bruch{\varphi}{2}$ [/mm] .
Damit wird dann:
[mm]2* \integral_{0}^{2\pi}{\cos\left(\bruch{\varphi}{2}\right) \ d\varphi} \ = \ 2* \integral_{0}^{\pi}{\cos\left(t\right) \ 2*dt} \ = \ 4* \integral_{0}^{\pi}{\cos\left(t\right) \ dt} \ = \ ...[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 Di 07.03.2006 | | Autor: | foxi |
Also erhalte ich dann:
8 * [ [mm] \sin(\bruch{\varphi}{2}) ]_0^{\pi} [/mm] = 8
Oder hab ich irgendwo einen Denkfehler?
Was ist mit der Symmetrie?
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Du hast das richtige Ergebnis, aber einen falschen Weg. Irgendwie heben sich deine Rechenfehler gegenseitig weg. Beachte:
[mm]2 \int_0^{2 \pi}~\cos{\frac{\varphi}{2}}~\mathrm{d}\varphi \ = \ 0[/mm]
Und das kann ja bei der Bogenlänge nicht herauskommen. Der Hauptfehler ist schon vorher passiert:
[mm]\int_0^{2 \pi}~\sqrt{4 \cos^2{\frac{\varphi}{2}}}~\mathrm{d}\varphi \ = \ \int_0^{2 \pi}~2 \left| \cos{\frac{\varphi}{2}} \right|~\mathrm{d}\varphi[/mm]
Um nun Fallunterscheidungen zu vermeiden, nützt man die Symmetrie der Kurve aus und integriert nur von 0 bis [mm]\pi[/mm]. In diesem Bereich können dann die Betragsstriche entfallen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Di 07.03.2006 | | Autor: | foxi |
Danke euch allen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Sa 11.03.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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