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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Bogenlänge folgender Kurve:
x = [mm] t^6/6
[/mm]
y= 2 - [mm] t^4/4
[/mm]
zwischen den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich komme an einer Stelle beim rechnen überhaupt nicht mehr weiter.
1. Ich habe die Nullstellen berechnet von y = 0 um die Grenzen für das Integrieren rauszufinden.
[mm] t_0 [/mm] = 0
[mm] t_1 [/mm] = [mm] 8^{1/4}
[/mm]
2. Dann habe ich x und y abgeleitet.
x' = [mm] t^5
[/mm]
y' = [mm] -t^3
[/mm]
3. Diese habe ich dann in die Formel für die Bogenlänge eingesetzt.
[mm] \integral_{t_0}^{t_1}\wurzel{x(t)² + y(t)²} \, [/mm] dt
[mm] \integral_{0}^{8^{1/4}} \wurzel{t^{10 }+ t^6} \, [/mm] dt
4. Dann hab ich aus der Wurzel ausgeklammert.
[mm] \integral_{0}^{8^{1/4}} t^3 [/mm] * [mm] \wurzel{t^4 + 1} \, [/mm] dt
Bis hierin ist alles richtig, das stimmt mit der Lösung des Dozenten überein. Aber ich weiß nicht wie ich den nächsten Schritt angehen soll.
5. Dann wollte ich die Wurzel substituieren, musste danach aber feststellen, das der Parameter t aber immer erhalten blieb.
Meine Substitution
u = [mm] t^4 [/mm] + 1
u' = [mm] 4t^3
[/mm]
dt = [mm] 4t^3 [/mm] du
neue Integrationsgrenzen
für [mm] t_0 [/mm] = 0 --> [mm] u_0 [/mm] = 1
für [mm] t_1 [/mm] = [mm] 8^{1/4} [/mm] --> [mm] u_1 [/mm] = 9
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Ich hatte dann folgendes raus:
[mm] \integral_{0}^{9} t^3 [/mm] * [mm] \wurzel{u} [/mm] * [mm] 4t^3\, [/mm] du
Ich hab es zwar mal mit Maple probiert, daher weiß ich das folgendes als nächstes rauskommen muss:
[mm] \integral_{1}^{\wurzel {9}} \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] u²\, [/mm] du. Und wenn ich das dann alles einsetzt und ausrechne stimmt das mit der Lösung überein. Den Rest versteh ich wieder aber nur diesen einen Schritt nicht.
Wie komme ich auf das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * u² und die Grenze von [mm] \wurzel{9}, [/mm] sowie 1??
Ich hoffe es kann mir jemand dabei helfen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 So 18.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mike,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Du machst einen Fehler beim Umformen Deiner abgeleiteten Substitution:
$u \ := \ [mm] t^4+1$ $\Rightarrow$ [/mm] $u' \ = \ [mm] \bruch{du}{dt} [/mm] \ = \ [mm] 4t^3$ $\gdw$ [/mm] $dt \ = \ [mm] \red{\bruch{du}{4t^3}}$
[/mm]
Kommst Du damit nun zum gewünschten Ziel?
Gruß
Loddar
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Das hilt mir schon weiter.
Ich habe jetzt folgendes stehen
[mm] \integral_{1}^{9}{t³ * \wurzel{t^{4} + 1} \bruch{du}{4t³}}
[/mm]
Ich habe dann das t³ gekürtzt. Es bleibt stehen
[mm] \integral_{1}^{9}{\bruch{1}{4}\wurzel{u} du}
[/mm]
Das Integriere ich jetzt. Es bleibt stehen
[mm] \bruch{1}{4} [/mm] u * [mm] \bruch{2}{3} u^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
Jetzt befinde ich mich in einer neuen Sackgasse. Ich könnte zwar noch kürzen aber richtig ist das noch nicht.
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Das ist allerdings nicht richtig. Wie integrierst du denn?
[mm]\int~5x^2~\mathrm{d}x = 5x \cdot \frac{1}{3} \, x^3[/mm]
Wirklich?
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Ich habe für
[mm] \integral{\bruch{1}{4} du} [/mm] --> [mm] \bruch{1}{4}u [/mm] aufgeleitet(bei dem bin ich aber nicht so sicher) , da ja
[mm] \integral{a dx} [/mm] --> ax + C
und
[mm] \integral{Wurzel(u) du} [/mm] --> [mm] \bruch{2}{3} [/mm] * [mm] u^{\bruch{3}{2}}, [/mm] da ja
[mm] \integral{Wurzel(x) dx} [/mm] --> [mm] \bruch{2}{3} [/mm] * [mm] x^{\bruch{3}{2}} [/mm] + C
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Hallo,
aber du hast in deinem Integral [mm] \integral_{1}^{9}{\bruch{1}{4}\wurzel{u} du} [/mm] ein Produkt stehen, in dessen zweiten Faktor die Integrationsvariable vorkommt, im ersten nicht. Also kannst du das [mm] \bruch{1}{4} [/mm] "rausziehen", dh.
[mm] \integral_{1}^{9}{\bruch{1}{4}\wurzel{u} du}=\bruch{1}{4}\integral_{1}^{9}{\wurzel{u} du}=\bruch{1}{4}\left[\bruch{2}{3}u^{\bruch{3}{2}}\right]_{1}^{9}=\left[\bruch{1}{6}u^{\bruch{3}{2}}\right]_{1}^{9}
[/mm]
Nun nur noch resubstituieren, dann solltest du auf das richtige Ergebnis kommen
Gruß
schachuzipus
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JA! Der Wahnsinn. Jetzt hab ich es endlich. Danke für die tolle Hilfe, ich hätte sonst noch Tage gesessen und hät die Fehler nicht erkannt. ;)
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