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Forum "Trigonometrische Funktionen" - Bogenlänge sin(x)
Bogenlänge sin(x) < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Bogenlänge sin(x): Wie lang ist eine Sinuswelle
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:24 Fr 17.12.2004
Autor: Sinfulis

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ziel:
Wie groß ist die Bogenlänge einer Halbwelle der Funktion: f(x) = sin(x).

Ansatz von mir:

Integral ds in den Grenzen xu=0; x0 = Pi = Integral in den Grenzen xu=0; x0 Wurzel aus (1+ f ' ² (x)) dx

Strategie:

f(x) = sin(x)
f' (x) = cos(x)
f' ² (x) = cos(x) * cos(x)

Vielen dank im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Bogenlänge sin(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:00 Fr 17.12.2004
Autor: Fabian

Hallo Sinfulis

dein Ansatz ist doch schon mal nicht schlecht! Wo ist denn nun dein Problem? Wenn du uns nicht schreibst, wo genau du nicht weiter kommst , dann kann ich dir auch nicht weiterhelfen.

Gruß Fabian
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Bezug
Bogenlänge sin(x): Integral?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:47 Fr 17.12.2004
Autor: Bastiane

Hallo!
> Ziel:
>  Wie groß ist die Bogenlänge einer Halbwelle der Funktion:
> f(x) = sin(x).
>  
> Ansatz von mir:
>  
> Integral ds in den Grenzen xu=0; x0 = Pi = Integral in den
> Grenzen xu=0; x0 Wurzel aus (1+ f ' ² (x)) dx

Bist du sicher, dass du hier mit dem Integral weiterkommst? Damit berechnet man doch die Fläche, aber du willst die Bogenlänge haben... Vielleicht habe ich nur zu wenig Ahnung davon, aber wie kommst du auf (1+f'^2(x))?

> Strategie:
>  
> f(x) = sin(x)
>  f' (x) = cos(x)
>  f' ² (x) = cos(x) * cos(x)

Ansonsten würde das hier ja stimmen! [ok]

Viele Grüße
Bastiane
[cap]
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Bogenlänge sin(x): Formel
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Fr 17.12.2004
Autor: Loddar

Hallo Bastiane,

dabei handelt es sich um eine Formel zur Berechnung von Bogenlängen beliebiger Funktionen:

$l = [mm] \integral_{a}^{b} {\wurzel{1 + y'^2} dx}$ [/mm]

Grüße Loddar
Bezug
        
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Bogenlänge sin(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:25 Fr 17.12.2004
Autor: Sinfulis

@ persilous

Mein problem ist das Lösen des Integrals Wurzel aus (1+ f ' ² (x)) dx
_________________________________________________________


@ Bastiane


Wie ich auf mein Integral kam:

Mit hilfe das Phystaguras: weil integral ja das aufsummieren kleiner Differenziale :

Deswegen Bogelänge:

ds = Wurzel aus ((dx)² + (dy)²)

s= Integrals Wurzel aus (1+ f ' ² (x)) dx
Bezug
        
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Bogenlänge sin(x): Vermutung: Polarkoordinaten?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:14 Fr 17.12.2004
Autor: Loddar

Hallo Sinfulis,

[willkommenmr] !!!

Bei der Lösung Deines o.g. Integrals bin ich leider auch nicht weiter gekommen:

$s = [mm] \integral_{0}^{\pi} {\wurzel{1 + cos^2 (x)} dx} [/mm] = ...$

Ich habe habe aber die Vermutung, daß es über den Ansatz klappen könnte, die Funktion y = sin(x) in Polarkoordinaten darzustellen.

Dann lautet die Formel nämlich:

$s = [mm] \integral_{\phi_1}^{\phi_2} {\wurzel{r^2 + r'^2} d \phi}$ [/mm]


Leider habe ich momentan 'nen Blackout für weiteres [verwirrt] und habe auch keine Zeit mehr.

Aber vielleicht kommst du mit dem Hinweis weiter ...

Grüße Loddar

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Bogenlänge sin(x): Andere Vermutung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:45 Fr 17.12.2004
Autor: Fabian

Hallo  Sinfulis

Dieses Integral kann man wahrscheinlich nur numerisch lösen! Aber das übersteigt mein Können  :-(
Vielleicht kommst du aber mit diesem Tipp weiter

Gruß Fabian


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Bogenlänge sin(x): Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:07 Fr 17.12.2004
Autor: Sinfulis


Die X Werte konnte ich gerade leider nciht errechnen.

Zudem habe ich festgestellt, dass die Funktion sin (x) * sin(x)   immer die Minima der Funktion  wurzel(1+ cos(x) * cos(x))  berührt und zu dem immer eine Nullstelle hat, wenn die Funktion wurzel(1+ cos(x) * cos(x)) ein Maximum hat.

Nur wie finde ich nun eine Ersatz Funktion von wurzel(1+ cos(x) * cos(x)) ???





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Bogenlänge sin(x): Sorry text nciht vollständig
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:09 Fr 17.12.2004
Autor: Sinfulis

Gibt es denn eine  Funktion die der Funktion

wurzel(1+ cos(x) * cos(x))

gerecht werden könnte und somit leichter zu Integrien wäre??


Von der Funktion  wurzel(1+ cos(x) * cos(x))


Kenne ich schon die y Werte der Minima und Maxima.

pmax ( ? ; Wurzel(2))
pmin  ( ? ;  1)


Die X Werte konnte ich gerade leider nciht errechnen.

Zudem habe ich festgestellt, dass die Funktion sin (x) * sin(x)   immer die Minima der Funktion  wurzel(1+ cos(x) * cos(x))  berührt und zu dem immer eine Nullstelle hat, wenn die Funktion wurzel(1+ cos(x) * cos(x)) ein Maximum hat.

Nur wie finde ich nun eine Ersatz Funktion von wurzel(1+ cos(x) * cos(x)) ???





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Bogenlänge sin(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:21 Sa 18.12.2004
Autor: Stefan

Hallo!

Zunächst einmal ist das Integral in der Tat nicht elementar, sondern nur numerisch lösbar, siehe etwa []hier.

Wenn du jetzt die Funktion $f(x) = 1 + [mm] \cos^2(x)$ [/mm] "halbwegs gescheit", aber dennoch elementar annähern willst, solltest du das mit der Taylorapproximation tun.

Wir entwickelt alles bis zur vierten Potenz, das sollte reichen.

Für die Taylor-Reihe von [mm] $\cos(x)$ [/mm] um $0$ gilt:

[mm] $\cos(x) [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^k \cdot \frac{x^{2k}}{(2k)!}$, [/mm]

also:

[mm] $\cos(x) [/mm] = 1 - [mm] \frac{x^2}{2} [/mm] + [mm] \frac{x^4}{24} [/mm] -  [mm] \ldots$ [/mm]

und daher:

$1 + [mm] \cos^2(x) [/mm] = 2 - [mm] x^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{3}x^4 [/mm] + [mm] \ldots$. [/mm]

So, jetzt nimmst du die Funktion

$f(x) = 2 - [mm] x^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{3}x^4 [/mm] $

als Approximation und integrierst die mal schön. Teile uns dein Ergebnis bitte mit. Es würde mich durchaus interessieren. :-)

(Bemerkung an alle Mathematiker: Die Approximation ist sehr grob. So betreibt man keine Numerik, ich weiß. Aber eine andere Lösung sehe ich für den Schüler nicht.)

Liebe Grüße
Stefan


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