Bogenlänge, stetig differenzi < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 So 04.11.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Warum gilt:
ist [mm] \gamma [/mm] : [a,b] -> [mm] \IR^n [/mm] ein Weg und stetig differenzierbar
=> [mm] L(\gamma) [/mm] < [mm] \infty [/mm] (Bogenlänge endlich) |
Wir haben [mm] L_Z (\gamma) [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^N [/mm] || [mm] \gamma(t_j) [/mm] - [mm] \gamma (t_{j-1})|| [/mm] so eingeführt wobei Z die Zerlegung ist
Dann den Mittelwertsatz der Differentialrechnung angewandt
[mm] L_Z (\gamma) [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^N [/mm] || [mm] \gamma^{*} (\epsilon)|| [/mm] * [mm] (t_j -t_{j-1})
[/mm]
wobei [mm] \epsilon [/mm] eine Zwischenstelle zwischen [mm] t_j [/mm] und [mm] t_{j-1}
[/mm]
wegen der Riemansumme -> [mm] L(\gamma) [/mm] = [mm] \int_a^b [/mm] || [mm] \gamma^{*} [/mm] (t)|| dt
Was ist nun für die Bogenlänge wenn [mm] \gamma [/mm] nicht stetig differenzierbar ist?
Warum ist die Bogenlänge endlich wenn [mm] \gamma [/mm] stetig differenzierbar ist?
Gilt wenn die Bogenlänge endlich ist, auch dass [mm] \gamma [/mm] stetig differenzierbar ist?
Das sind so die Frage, die in mir herumschwirren^^
LG
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Was ist nun für die Bogenlänge wenn [mm]\gamma[/mm] nicht stetig differenzierbar ist?
Dann ist die Formel nicht anwendbar. In den meisten Fällen der mathematischen Praxis ist aber [mm]\gamma[/mm] zumindest stückweise stetig differenzierbar. Dann kann man die Formel stückweise für die Intervalle anwenden, auf denen stetige Differenzierbarkeit vorliegt.
Warum ist die Bogenlänge endlich wenn [mm]\gamma[/mm] stetig differenzierbar ist?
Weil das der Beweis und die Formel lehrt.
Gilt wenn die Bogenlänge endlich ist, auch dass [mm]\gamma[/mm] stetig differenzierbar ist?
Nicht notwendigerweise. Denke dir eine Zackenlinie aus endlich vielen Strecken. In den Knickpunkten liegt keine stetige Differenzierbarkeit vor. Dennoch hat die Kurve eine endliche Länge (siehe auch die Antwort auf die erste Frage).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 So 04.11.2012 | | Autor: | sissile |
danke für die erklärung
Liebe Grüße
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