Bonferroni-Ungleichung nutzen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Mi 05.11.2014 | | Autor: | tabios |
| Aufgabe | In einer Übungsgruppe sind 18 Studierende. Jeder sei rein zufällig an einem der 7 Wochentage von Montag bis Sonntag geboren. Für i [mm] \in \{ 1,2,...,7\} [/mm] sei [mm] A_{i} [/mm] das Ereignis "keiner hatte am i-ten Wochentag Geburtstag".
Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A = "Es gibt einen Wochentag, an dem keiner Geburtstag hatte." mit den Bonferroni-Ungleichungen für m = 1, 2, 3 ab. |
Mein bisheriger, noch unvolständiger Lösungsweg:
m = 1
P(A) = [mm] P(\bigcup_{i=1}^{7}A_{i}) \le S_{1} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{7} P(A_{i}) [/mm] = 7 * 0,062 = 0,434 = 43,4 % mit Hilfe der Bonferroni-Ungleichung und
[mm] P(A_{1}) [/mm] = ... = [mm] P(A_{7}) [/mm] = [mm] \bruch{|A_{i}|}{|Omega|} [/mm] = [mm] \bruch{6^{18}}{7^{18}} \approx [/mm] 0,062 = 6,2 % .
m = 2
P(A) = [mm] P(\bigcup_{i=1}^{7}A_{i}) \ge \summe_{k=1}^{2} (-1)^{k-1} S_{k}
[/mm]
= [mm] S_{1} [/mm] - [mm] S_{2}
[/mm]
= 0,434 - [mm] P(A_{1} \cap A_{2})
[/mm]
Ab jetzt bin ich mir nicht mehr sicher.
= 0,434 - (1 - [mm] P(A_{1} \cap A_{2})^{C} [/mm] (Rechenregel)
= 0,434 - (1 - [mm] P({A_{1}}^C \cup {A_{2}}^C) [/mm] (de Morgan)
= 0,434 - (1 - [mm] P({A_{1}}^C) [/mm] + [mm] P({A_{2}}^C) [/mm] - [mm] P({A_{1}}^C \cap {A_{2}}^C) [/mm] (Sieb)
= 0,434 - (1 - (0,938 + 0,938 + ?))
Jetzt weiß ich nicht weiter. Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts [mm] P({A_{1}}^C \cap {A_{2}}^C)?
[/mm]
Ich hoffe, ich habe bis hierhin keine Fehler gemacht..
Nebensache: Gibt es in der Eingabehilfe kein großes Omega als Zeichen für den Ereignisraum? Welches Zeichen wird stattdessen verwendet?
Liebe Grüße und Danke
tabios
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Hallo,
> In einer Übungsgruppe sind 18 Studierende. Jeder sei rein
> zufällig an einem der 7 Wochentage von Montag bis Sonntag
> geboren. Für i [mm]\in \{ 1,2,...,7\}[/mm] sei [mm]A_{i}[/mm] das Ereignis
> "keiner hatte am i-ten Wochentag Geburtstag".
> Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A =
> "Es gibt einen Wochentag, an dem keiner Geburtstag hatte."
> mit den Bonferroni-Ungleichungen für m = 1, 2, 3 ab.
> Mein bisheriger, noch unvolständiger Lösungsweg:
>
> m = 1
>
> P(A) = [mm]P(\bigcup_{i=1}^{7}A_{i}) \le S_{1}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{7} P(A_{i})[/mm] = 7 * 0,062 = 0,434 = 43,4 % mit
> Hilfe der Bonferroni-Ungleichung und
>
> [mm]P(A_{1})[/mm] = ... = [mm]P(A_{7})[/mm] = [mm]\bruch{|A_{i}|}{|Omega|}[/mm] =
> [mm]\bruch{6^{18}}{7^{18}} \approx[/mm] 0,062 = 6,2 % .
>
Sieht gut aus.
> m = 2
>
> P(A) = [mm]P(\bigcup_{i=1}^{7}A_{i}) \ge \summe_{k=1}^{2} (-1)^{k-1} S_{k}[/mm]
>
> = [mm]S_{1}[/mm] - [mm]S_{2}[/mm]
Bei [mm] $S_2$ [/mm] ist die Summe verlorengegangen.
(Die Reduktion auf [mm] $P(A_1\cap A_2)$ [/mm] ist aber durchaus sinnvoll)
> = 0,434 - [mm]P(A_{1} \cap A_{2})[/mm]
>
> Ab jetzt bin ich mir nicht mehr sicher.
Ab hier fehlen Klammern, u.U sind auch falsche Vorzeichen dabei.
> = 0,434 - (1 - [mm]P(A_{1} \cap A_{2})^{C}[/mm] (Rechenregel)
>
> = 0,434 - (1 - [mm]P({A_{1}}^C \cup {A_{2}}^C)[/mm] (de Morgan)
>
> = 0,434 - (1 - [mm]P({A_{1}}^C)[/mm] + [mm]P({A_{2}}^C)[/mm] - [mm]P({A_{1}}^C \cap {A_{2}}^C)[/mm]
> (Sieb)
>
> = 0,434 - (1 - (0,938 + 0,938 + ?))
>
> Jetzt weiß ich nicht weiter. Wie berechne ich die
> Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts [mm]P({A_{1}}^C \cap {A_{2}}^C)?[/mm]
Berechne doch direkt [mm] $P(A_1\cap A_2)$, [/mm] wie oben, also dei W-keit, dass sowohl Sonntags als auch Montags keiner Geburtstag hat.
> Ich hoffe, ich habe bis hierhin keine Fehler gemacht..
>
> Nebensache: Gibt es in der Eingabehilfe kein großes Omega
> als Zeichen für den Ereignisraum? Welches Zeichen wird
> stattdessen verwendet?
So: [mm] $\Omega$, [/mm] mit mouse-over ist der LaTeX-Befehl sichtbar.
Eingabehilfen sind halt endlich.
> Liebe Grüße und Danke
>
> tabios
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