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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Di 10.01.2006 | | Autor: | dump_0 |
Hallo,
ich muss schon wieder nerven, aber ich wüsste gern ob meine Lösung zu einer Aufgabe denn stimmt.
Beweisen Sie die Eindeutigkeit des Komplements eines Booleschen Verbands [tex](M, \wedge, \vee), a, b_1, b_2 \in M[/tex], sodass gilt:
[tex](a \wedge b_1 = 0) \wedge (a \vee b_1 = e) \wedge (a \wedge b_2 = 0) \wedge (a \vee b_2 = e) \to b_1 = b_2[/tex].
Beweis:
Sei [tex](M, \wedge, \vee)[/tex] ein Boolescher Verband, [tex]a, b_1, b_2 \in M[/tex], wobei [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] 2 Komplemente von a seien.
Dann gilt [tex]a \wedge b_1 = 0, a \wedge b_2 = 0[/tex]. Dann ist [tex]a \wedge b_1 = a \wedge b_2[/tex]. Daraus folgt das [mm] b_1 [/mm] = [mm] b_2 [/mm] ist, da [mm] b_1, b_2 [/mm] beides Komplemente des gleichen Elements a sind.
Für [mm] \vee [/mm] hab ich das analog gemacht. Auf die Aufg. gibts nur 2 Punkte, kann also nichts großes dahinter stecken, aber mit kommt das viel zu einfach vor. Was meint ihr dazu ?
Grüße
[mm] dump_0
[/mm]
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Hallo,
leider nicht. Du hast lediglich das, was zu zeigen war, einfach hingeschrieben.
Schauen wir doch mal: Sei also ein Verband gegeben, und gelte
[mm] a\vee b_1 [/mm] =1 = [mm] a\vee b_2
[/mm]
[mm] a\wedge b_1=0 [/mm] = [mm] a\wedge b_2
[/mm]
Wir wollen zeigen, dass [mm] b_1=b_2 [/mm] gilt.
Es ist
[mm] b_1 [/mm] = [mm] 0\vee b_1 [/mm] = [mm] (a\wedge b_2)\vee b_1
[/mm]
= [mm] (a\vee b_1)\wedge (b_2\vee b_1) [/mm] = [mm] 1\wedge (b_2\vee b_1)
[/mm]
= [mm] b_2\vee b_1
[/mm]
und analog mit [mm] b_1,b_2 [/mm] vertauscht [mm] b_2=b_2\vee b_1, [/mm] also Gleichheit.
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Di 10.01.2006 | | Autor: | dump_0 |
Ich danke dir!
Das [mm] b_1 [/mm] = [mm] b_1 \vee [/mm] 0 bedeutet hab ich garnicht so wahrgenommen, dann ist der rest auch nicht mehr so schwierig wie du bewiesen hast. :)
Viele Grüße
[mm] dump_0
[/mm]
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