(Boolscher) Ring < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:44 Do 03.11.2005 | | Autor: | Milka_Kuh |
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Hallo Forum,
Ich weiß bei dieser Aufgabe leider nicht, wie ich da vorgehen soll. Ich hab schon selbst versuchen, den Beweis durchzuführen, aber ich weiß nicht, ob mein Vorgehen überhaupt richtig ist. Ich hoffe es kann mir jemand auf die Sprünge helfen.
Also bei der Aufgabe soll man beweisen, dass ein Boolscher Ring R mit dem zu [mm] A_{R} [/mm] gebildeten Boolschen Ring [mm] R_{A_{R}} [/mm] gleich ist, wobei [mm] A_{R} [/mm] die zu R gehörige Boolsche Algebra ist.
Z.Z. also: R = [mm] R_{A_{R}}
[/mm]
Unser Professor hat einen Satz angegeben, der folgendermaßen lautet:
(a) Für jede Boolsche Algebra A =(A, [mm] \cup,\cap,\neg) [/mm] ist die Menge A bzgl. a+b := (a [mm] \cap \neg [/mm] b) [mm] \cup (\neg [/mm] a [mm] \cap [/mm] b) := a [mm] \Delta [/mm] b die symm. Differenz von a,b [mm] \in [/mm] A, und ab = a [mm] \cap [/mm] b ein Boolscher Ring R = [mm] R_{A} [/mm] (mit denselben neutralen Elementen).
(b) Für jeden Boolschen Ring R = (R,+,*) ist die Menge R eine Boolsche Algebra bzgl a [mm] \cup [/mm] b := a+b+(ab), [mm] a\cap [/mm] b := ab (mit denselben neutralen Elementen) und [mm] \neg [/mm] a = 1+a.
(c) Es gilt A = [mm] A_{R_{A}} [/mm] und R = [mm] R_{A_{R}}.
[/mm]
Also ich muss den zweiten Teil von (c) beweisen.
Ich hab das so versucht, zu beweisen:
Und zwar bin ich von der Definition: Ein Ring mit 1 heißt Boolscher Ring, wenn [mm] a^{2} [/mm] = a für alle a [mm] \in [/mm] R gilt., ausgegangen. Und zwar hab ich einfach diese Definiton auf die Definitionen im Satz angewandt:
[mm] (ab)^{2} [/mm] = (a [mm] \cap b)^{2} [/mm] = (a [mm] \cap [/mm] b) (a [mm] \cap [/mm] b) = (a [mm] \cap [/mm] b) [mm] \cap [/mm] (a [mm] \cap [/mm] b) = (a [mm] \cap [/mm] b) = ab
[mm] (a\cup b)^{2} [/mm] = [mm] (a\cup [/mm] b) [mm] (a\cup [/mm] b) = (a+b+(ab)) (a+b+(ab)) = [mm] a^{2} [/mm] + ab + [mm] a^{2}b [/mm] + ba + [mm] b^{2} [/mm] + [mm] ab^{2} [/mm] + [mm] a^{2}b [/mm] + [mm] ab^{2} [/mm] + [mm] a^{2}b^{2} [/mm] = a + ab + ba + 2 ab + b + 2ab + ab
Boolsche Ringe sindkommutativund haben Charakteristik 2, also a+a = 2a = 0 für alle a [mm] \in [/mm] R, und aus ab = ba folgt 0 = ba - ab = ba + ab wg. Charakteristik 2. Beweis dazu:
(a+b) = [mm] (a+b)^{2} [/mm] = [mm] a^{2} [/mm] + ab + ba + [mm] b^{2} [/mm] = a + ((ab) + (ba)) + b
Daraus folgt: 0 = ab + ba
Damit folgt für die obige Gleichung:
= a + b + ab = a [mm] \cup [/mm] b nach Defintion.
[mm] (a+b)^{2} [/mm] = (a+b) (a+b) = [(a [mm] \cap \neg [/mm] b) [mm] \cup (\neg [/mm] a [mm] \cap [/mm] b)] [mm] [(a\cap \neg [/mm] b) [mm] \cup (\neg [/mm] a [mm] \cap [/mm] b)] = [(a [mm] \cap \neg [/mm] b) [mm] \cup (\neg [/mm] a [mm] \cap [/mm] b)] [mm] \cap[(a\cap \neg [/mm] b) [mm] \cup (\neg [/mm] a [mm] \cap [/mm] b)] = [mm] [(a\cap \neg [/mm] b) [mm] \cup (\neg [/mm] a [mm] \cap [/mm] b)] = a +b
(a [mm] \cap b)^{2} [/mm] = (a [mm] \cap [/mm] b) (a [mm] \cap [/mm] b) = (ab) (ab) = [mm] a^{2}b^{2} [/mm] = ab = a [mm] \cap [/mm] b
[mm] (\neg a)^{2} [/mm] = [mm] (1+a)^{2} [/mm] = 1 + 2a + [mm] a^{2} [/mm] = 1+ a = [mm] \neg [/mm] a, wg. Charakteristik 2.
Daraus folgt die Beh., also dass der von [mm] A_{R} [/mm] gebildete Boolsche Ring mit dem normalen Boolschen Ring übereinstimmt.
Stimmt das so? Ich hab keine Ahnung, wie ich das sonst machen soll. Ich versteh auch die Aufgabenstellung auch nicht so richtig, was da von mir verlangt wird.
Ich bitte daher um Hilfe.
Liebe Grüße,
Milka_Kuh
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Fr 04.11.2005 | | Autor: | Galois |
Hallo Milka_Kuh!
Ich habe mir Deine Rechnung nicht im Detail durchgeguckt, glaube aber, ich sollte Dir ein paar Erläuterung zur eigentlichen Aufgabenstellung geben:
Die der Satzteil (c) zugrundeliegende Frage ist, ob die "Operationen" [mm] $A\to R_A$ [/mm] und [mm] $R\to A_R$ [/mm] nicht nur Boolsche Algebren in Boolsche Ringe - bzw. umgekehrt - verwandeln, sondern sogar zueinander invers sind.
Um konkret Deinen Aufgabenteil [mm] $R_{A_R}=R$ [/mm] zu zeigen, solltest Du vor allem mit der Notation aufpassen:
Seien + und * die Operationen im gegebenen Ring R.
Die Operationen [mm] $\cup$, $\cap$, $\neg$ [/mm] in der Algebra [mm] $A_R$ [/mm] sind dann gemäß Satzteil (b) definiert durch $a [mm] \cup [/mm] b := a+b+(ab)$, [mm] $a\cap [/mm] b := ab$ und [mm] $\neg [/mm] a := 1+a$.
Die Operationen $+_1$ und $*_1$ im Ring [mm] $R_{A_R}$ [/mm] sind dann gemäß Satzteil (a) definiert durch $a+_1b := (a [mm] \cap \neg [/mm] b) [mm] \cup (\neg [/mm] a [mm] \cap [/mm] b)$ und $a*_1b := a [mm] \cap [/mm] b$.
Wichtig ist hierbei, zu beachten, daß $+_1$ und $*_1$ zunächst einmal neue Operationen auf der Menge $R$ sind.
Deine Aufgabe ist es, zu zeigen, daß diese beiden Operationen mit den ursprünglichen Operationen auf R übereinstimmen!
Also $a*_1b = a [mm] \cap [/mm] b= ab$ nach obiger Definition von $*_1$ und obiger Definition von [mm] $\cap$. [/mm] - Ups, damit sind 50% der Aufgabe ja schon gelöst... 
Jetzt Du: $a+_1b=...$
Grüße,
Galois
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Hallo Galois,
vielen Dank erstaml für deine große Hilfe. Erst jetzt ist mir die Aufgabenstellung klar geworden. Aus der Angabe vom Prof wurde ich echt nicht schlau. Da du ja den ersten Teil schon für mich bewiesen hast (vielen Dank dafür), hab ich jetzt mal versucht den 2.Teil zu zeigen.
Ich hoffe, dass ich das richtig gemacht habe:
Z.Z.: a +_{1} b = a+b
a +_{1} b = (a [mm] \cap \negb) \cup (\nega \cap [/mm] b) = (a* (1+b)) [mm] \cup [/mm] ((1+a)*b) = (a +ab) [mm] \cup [/mm] (b + ab) = (a + ab) + (b+ab) + (a+ab) (b+ab) = a+ ab + b+ ab + ab + [mm] a^{2}b [/mm] + [mm] ab^{2} [/mm] + [mm] a^{2}b^{2} [/mm] = a + ab + b + ab + ab +ab + ab + ab = a + b, da Boolsche Ringe Charakteristik 2 haben, d.h. ab + ab = 0 (schon in Vorlesung bewiesen).
Stimmt das so?
Viele Grüße,
Milka
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Ja, das ist richtig! ![[bindafuer]](/images/smileys/bindafuer.gif "[bindafuer]"){kind=small}
