Borel-Cantelli und P f.s < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hallo zusammen,
Kann jemand mir helfen zu überprüfen ob meine Begründung richtig ist?
zu zeigen: [mm] |X_{n}/n|\to0 [/mm] fast sicher [mm] \Rightarrow \summe_{n=1}^{ \infty}P\{|X_{n}/n|>=1\} <\infty
[/mm]
Beweis. [mm] |X_{n}/n|\to0 [/mm] fast sicher
[mm] \Rightarrow P\{\limes_{n\rightarrow\infty}|X_{n}/n|=0\}=1 [/mm]
[mm] \Rightarrow P\{|X_{n}/n|<1, \forall n>=N\}=1 [/mm] (hier habe ich direkt [mm] \varepsilon=1 [/mm] angenommen)
[mm] \Rightarrow P\{|X_{n}/n|>=1, \forall n>=N\}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow P(limsup{|X_{n}/n|>=1}) [/mm] = [mm] P\{w||X_{n}(w)/n|>=1 f"ur \infty n \}=0 [/mm] (dahinten meine ich "für unendlich viele n")
[mm] \Rightarrow \summe_{n=1}^{ \infty}P\{|X_{n}/n|>=1\} <\infty [/mm] (nach Borel Cantelli)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mi 27.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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