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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 Di 19.10.2010 | | Autor: | cmueller |
| Aufgabe | Wir betrachten [mm] \IR [/mm] versehen mit der Standardtopologie. Entscheiden und begründen Sie jeweils, ob die folgenden Mengen in der [mm] Borel-\sigma [/mm] -algebra enthalten sind.
i) (0,1)
ii) [0,1)
iii) {0}
iv) [mm] \IQ [/mm] |
Hallo Zusammen,
bezüglich der oberen Aufgabe habe ich ein Problem.
Die Vorlesung hat gerade erst begonnen und aus dem skript verstehe ich nicht ganz was eine [mm] borel-\sigma-algebra [/mm] ist.
ich würde die aufgabe bisher so verstehen:
wir haben einen topologischen Raum [mm] (\IR, \mathcal{T})
[/mm]
wobei [mm] \mathcal{T} [/mm] die Standardtopologie auf [mm] \IR [/mm] ist, das heißt die Vereinigung und die Schnitte von offenen Mengen sind wieder offen.
und meine [mm] Borel-\sigma-Algebra, [/mm] nennen wir sie [mm] \mathcal{A}_\mathcal{T} [/mm] ist die kleinste [mm] \sigma-algebra, [/mm] die [mm] \mathcal{T} [/mm] enthält und lässt sich mathematisch darstellen, wie folgt:
[mm] \mathcal{A}_\mathcalT [/mm] = [mm] \cap [/mm] { [mm] \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\IR); \mathcal{T} \subset \mathcal{A} [/mm] und [mm] \mathcal{A} [/mm] ist eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] über [mm] \IR [/mm] }
So, ich weiß aber nicht genau inwieweit mir das beantwortet welche Mengen in [mm] \mathcal{A}_\mathcal{T} [/mm] drin sind.
Vermuten würde ich, dass
(0,1) als offene Menge drin ist, außerdem [mm] \IQ
[/mm]
bei der halboffenen Menge [0,1) würde ich denken, dass sie nicht enthalten ist und bei {0} bin ich nciht sicher.
und selbst wenn mein Gefühl richtig sein sollte, fehlt mir ja dennoch die begründung...
Bin sehr dankbar für jede Hilfe,
liebe Grüße
cmueller
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Di 19.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Wir betrachten [mm]\IR[/mm] versehen mit der Standardtopologie.
> Entscheiden und begründen Sie jeweils, ob die folgenden
> Mengen in der [mm]Borel-\sigma[/mm] -algebra enthalten sind.
>
> i) (0,1)
> ii) [0,1)
> iii) {0}
> iv) [mm]\IQ[/mm]
> Hallo Zusammen,
>
> bezüglich der oberen Aufgabe habe ich ein Problem.
> Die Vorlesung hat gerade erst begonnen und aus dem skript
> verstehe ich nicht ganz was eine [mm]borel-\sigma-algebra[/mm] ist.
>
> ich würde die aufgabe bisher so verstehen:
> wir haben einen topologischen Raum [mm](\IR, \mathcal{T})[/mm]
>
> wobei [mm]\mathcal{T}[/mm] die Standardtopologie auf [mm]\IR[/mm] ist, das
> heißt die Vereinigung und die Schnitte von offenen Mengen
> sind wieder offen.
>
> und meine [mm]Borel-\sigma-Algebra,[/mm] nennen wir sie
> [mm]\mathcal{A}_\mathcal{T}[/mm] ist die kleinste [mm]\sigma-algebra,[/mm]
> die [mm]\mathcal{T}[/mm] enthält und lässt sich mathematisch
> darstellen, wie folgt:
> [mm]\mathcal{A}_\mathcalT[/mm] = [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\IR); \mathcal{T} \subset \mathcal{A}[/mm]
> und [mm]\mathcal{A}[/mm] ist eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] über [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> So, ich weiß aber nicht genau inwieweit mir das
> beantwortet welche Mengen in [mm]\mathcal{A}_\mathcal{T}[/mm] drin
> sind.
>
> Vermuten würde ich, dass
> (0,1) als offene Menge drin ist, außerdem [mm]\IQ[/mm]
> bei der halboffenen Menge [0,1) würde ich denken, dass
> sie nicht enthalten ist und bei {0} bin ich nciht sicher.
> und selbst wenn mein Gefühl richtig sein sollte, fehlt
> mir ja dennoch die begründung...
>
> Bin sehr dankbar für jede Hilfe,
>
> liebe Grüße
> cmueller
1. Das offene Intervall (0,1) gehört zur Borelschen [mm] \sigma [/mm] - Algebra, weil dieses Intervall offen ist.
2. Ist x [mm] \in \IR, [/mm] so geh. M:= [mm] (-\infty,x) \cup [/mm] (x, [mm] \infty) [/mm] zur Borelschen [mm] \sigma [/mm] - Algebra, als Vereinigung zweier offener Mengen.
Das Komplement von M ist { x }, somit geh. { x } zur Borelschen [mm] \sigma [/mm] - Algebra
Tipps zu ii) und iv):
[0,1) = { 0 } [mm] \cup [/mm] (0,1)
[mm] \IQ [/mm] ist abzählbar.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Di 19.10.2010 | | Autor: | cmueller |
ok super, vielen Dank schonmal
damit ist ja schonmal geklärt dass (0,1) und {0} drin sein müssen.
Nach deinem Tipp, dass [0,1) = {0} [mm] \cup [/mm] (0,1) ist, und die vereinigung ja auch enthalten sind, muss das ja doch drin sein, oder?
begründung ist ja genau das.
wenn [mm] \IQ [/mm] abählbar ist, das heißt gleichmächtig wie [mm] \IR [/mm] müsste doch Q deshalb drin sein?! oder eben gerade deshalb nicht, weil es ja keine offene Menge in der topologie ist?
würde sagen [mm] \IQ [/mm] ist nicht drin?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Di 19.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> ok super, vielen Dank schonmal
>
> damit ist ja schonmal geklärt dass (0,1) und {0} drin sein
> müssen.
> Nach deinem Tipp, dass [0,1) = {0} [mm]\cup[/mm] (0,1) ist, und die
> vereinigung ja auch enthalten sind, muss das ja doch drin
> sein, oder?
Ja
> begründung ist ja genau das.
>
> wenn [mm]\IQ[/mm] abählbar ist, das heißt gleichmächtig wie [mm]\IR[/mm]
Au Backe ! Das ist aber grober Unfug. [mm] \IR [/mm] ist überabzählbar !!!!
> müsste doch Q deshalb drin sein?! oder eben gerade deshalb
> nicht, weil es ja keine offene Menge in der topologie ist?
> würde sagen [mm]\IQ[/mm] ist nicht drin?
Doch: es ist [mm] $\IQ= \{r_1,r_2,r_3, ...\}= \bigcup_{i=1}^{\infty}\{r_i\}$
[/mm]
Siehst Du es jetzt ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Di 19.10.2010 | | Autor: | cmueller |
oh mist, da hab ich mich aber blamiert :/
das [mm] \IR [/mm] überabzählbar ist, ist mir eigentlich durchaus bekannt^^
> Doch: es ist [mm]\IQ= \{r_1,r_2,r_3, ...\}= \bigcup_{i=1}^{\infty}\{r_i\}[/mm]
>
> Siehst Du es jetzt ?
>
> FRED
>
aber ich glaube jetzt verstehe ich, [mm] \IQ [/mm] ist die vereinigung aller rationalen zahlen und die sind ja in [mm] \IR [/mm] drin und ist ja damit ne vereinigung von elementen aus [mm] \IR [/mm] und in der [mm] borel-\sigma-algebra.
[/mm]
akzeptiert?
ich verstehe nur immernoch nich prinzipiell wofür so ne [mm] borel-\sigma-alebra [/mm] grundsätzlich gut ist...sorry :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Di 19.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Entscheidend ist, dass [mm] \IQ [/mm] sich als abzählbare Vereinigung von Borelmengen darstellen lässt.
FRED
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