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Hallo zusammen!
Ich habe diese Aufgabe auf keinem anderen Forum gestellt!
Ich muss folgende Aussagen beweisen und stoße an meine Grenzen:
a) Beweisen sie: Für alle n aus N gilt:
[mm] [mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] {n über (k-1)} [mm] \bruch{1}{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] *(2^(n+1) -1)
b)Bestimmen sie die kleinste natürliche Zahl so, dass füralle n aus N gilt:
[mm] (\bruch{n}{3})^n \le [/mm] n! [mm] \le (\bruch{n}{2})^n
[/mm]
(Hilfe: Abschätzung: [mm] (1+\bruch{1}{n})^n \le (1+\bruch{1}{n+1})^{n+1} \le [/mm] 3)
c) Seien: [mm] [mm] a_1 :=a_2 [/mm] :=1 und a_(n+2) := a_(n+1) + [mm] a_n [/mm] ; [mm] x:=\bruch{1}{2}(1+\wurzel{5}) [/mm] und y:= [mm] \bruch{1}{2}(1-\wurzel{5})[/mm] [mm]. Man zeige:
[mm] [mm] a_n [/mm] = [mm] (x^n [/mm] - [mm] y^n)/ \Wurzel5
[/mm]
Ich brauche dringend Hilfe! Vielen Dank schon mal im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Di 16.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Deuterinomium!
Du kannst nicht erwarten, dass wir dir deinen ganzen Aufgabenzettel lösen, ohne dass du eigene Ideen und Lösungsansätze beisteuerst!! (Zumal du bisher nicht durch Hilfe bei anderen Hilfsbedürftigen aufgefallen bist.)
Ich rechne dir jetzt die a) vor. Bei b) und c) erwarte ich dann viel mehr Eigeninitiative von dir! Du willst ja schließlich Mathe studieren, da musst du sowas schon hinbekommen oder wenigstens Ansätze finden.
a) Es gilt:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{n+1} [/mm] {n [mm] \choose [/mm] {k-1}} [mm] \cdot \frac{1}{k}$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{n!}{k! \cdot (n-k+1)!}$
[/mm]
$ = [mm] \frac{1}{n+1} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{(n+1)!}{k! \cdot (n+1-k)!}$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{n+1} \sum\limits_{k=1}^{n+1} [/mm] {{n+1} [mm] \choose [/mm] k}$
$= [mm] \frac{1}{n+1} \cdot \left[ \sum\limits_{k=0}^{n+1} {{n+1} \choose k} - 1\right]$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{n+1} \cdot \left[ 2^{n+1}-1\right]$.
[/mm]
So, jetzt bist du mal dran. Wie würdest du bei b) und c) ansetzen? Und woran scheitert es?
Viele Grüße
Julius
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Danke Julius!
Natürlich hast du recht! Inzwischen bin ich auch selbst durch Überlegung auf die Lösungen gekommen! Ich war einfach zu faul mich ernsthaft damit zu beschäftigen, werde dies aber abstellen.
Also vielen Dank nochmal für den mathematischen Ansatz und die Motivation!
Als Beweis:
c) I.v.: n=1
[mm] 1=a_1=\bruch{1}{\Wurzel{5}}( \bruch{1 + \Wurzel{5}{2}}-\bruch{1 + \Wurzel{5}{2}} [/mm] ) = [mm] \bruch{2*\Wurzel{5}}{2*\Wurzel{5}}=1
[/mm]
Außerdem für n=2, da die Rekursionsormel der Fibonacci - Folge aufdie beiden vorhergehenden Glieder Bezug nimmt :
[mm] 1=a_2=\bruch{1}{\Wurzel{5}}( (\bruch{1 + \Wurzel{5}{2}})^2-(\bruch{1 + \Wurzel{5}{2}})^2 [/mm] )= [mm] \bruch{1}{\Wurzel{5}} \bruch{1}{2}(3+\wurzel{5}-3+\wurzel{5})=1
[/mm]
Induktionsannahme:
Es gelten [mm] a_n [/mm] und a_(n+1)
Induktionsschritt:
a_(n+2) = [mm] a_n [/mm] + a_(n+1)= [mm] \bruch{x^n-y^n}{\Wurzel{5}} [/mm] + [mm] \bruch{x^(n+1)-y^(n+1)}{\Wurzel{5}}= \bruch{1}{\Wurzel{5}}(x^{n+1}+x^n-y^{n+1}-y^n)= \bruch{1}{\Wurzel{5}}(x^n(x+1)-y^n(y+1))= \bruch{1}{\Wurzel{5}}(x^n* \bruch{3 + \Wurzel{5}{2}} [/mm] - [mm] y^n*\bruch{3 + \Wurzel{5}{2}} [/mm] )= [mm] \bruch{1}{\Wurzel{5}}(x^n*x^2-y^n*y2) [/mm] q.e.d
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