Brownsche Bewegung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Do 06.02.2014 | | Autor: | ivanhoe |
| Aufgabe | | Sei X= [mm] (X_{t}, [/mm] t [mm] \ge [/mm] 0) eine Brownsche Bewegung. Zeigen Sie, dass [mm] (X_{t}^2 [/mm] - t, [mm] F_{t}, [/mm] t [mm] \ge [/mm] 0) mit [mm] F_{t}= \sigma(X_s; [/mm] 0 [mm] \ge [/mm] s \ ge t) ein Martingal ist |
Hallo erstmal,
ich habe versucht, die 3 Eigenschaften eines Martingals nachzurechnen.
1. die Adaptiertheit, die ist klar.
[mm] 2.E[|X_t^2-t|] [/mm] < [mm] \infty [/mm] hier hab ich noch keine Idee, wie ich das lösen kann
3. [mm] E[X_t^2-t [/mm] | [mm] F_s] [/mm] = [mm] X_s^2 [/mm] - s
hier habe ich erstmal mit null addiert, also
= [mm] E[X_t^2-t [/mm] - [mm] (X_s^2 [/mm] - s) + [mm] X_s^2 [/mm] -s | [mm] F_s] [/mm] = [mm] E[X_t^2-t -X_s^2 [/mm] + [mm] s|F_s] [/mm] + [mm] Y_s [/mm] , wobei [mm] Y_s [/mm] = [mm] X_s^2 [/mm] - s
jetzt muss der erste Summand ja nur noch null, sein, dann steht die Lösung schon da. Leider sehe ich nicht, wie ich von hier weiterkomme. Ich würde mich über Ideen freuen.
Viele Grüße
ivanhoe
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Hiho,
> [mm]2.E[|X_t^2-t|][/mm] < [mm]\infty[/mm] hier hab ich noch keine Idee, wie ich das lösen kann
Dreiecksungleichung!
> jetzt muss der erste Summand ja nur noch null, sein, dann steht die Lösung schon da.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Was weißt du über [mm] X_t [/mm] - [mm] X_s [/mm] in Bezug auf [mm] \mathcal{F}_s [/mm] und versuche dann mal [mm] X_t^2 [/mm] - [mm] X_s^2 [/mm] über [mm] (X_t [/mm] - [mm] X_s)^2 [/mm] darzustellen.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Do 06.02.2014 | | Autor: | ivanhoe |
So, erstmal danke!
ich hab die Dreiecksungleichung benutzt (hätt ich selber draufkommen müssen :D ) und dann wie folgt:
[mm] E[|X_t^2 [/mm] - t|] [mm] \le E[|X_t^2| [/mm] + |t|] = t + t, da [mm] E[X_t^2]= Kov[X_t,X_t] [/mm] und [mm] X_t [/mm] eine B. B. daher, [mm] Kov[X_t, X_t] [/mm] = t. Aber t kann ja [mm] \infty [/mm] sein, dann hab ich ja ein Problem oder nicht?
zu 3.
ja die binomische Formel sehe ich auch, aber ich habe dann [mm] E[(X_t [/mm] + [mm] X_s) (X_t-X_s) [/mm] - t + s | [mm] F_s] [/mm] und von hier weiß ich nicht weiter, [mm] X_t-X_s [/mm] ist N(0,t-s) verteilt, also könnte ich da was ausrechenen und zusätzlich unabhägig von [mm] F_s [/mm] aber, sodass die Bedingung wegfällt im Erwartungswert, aber was mache ich mit [mm] X_t+X_s? [/mm] ich sehe noch nicht, wie ich diesen Term wegbekomme.
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Hiho,
> Aber t kann ja [mm]\infty[/mm] sein
Nein kann es nicht, wie kommst du drauf?
> zu 3.
>
> ja die binomische Formel sehe ich auch
Na offensichtlich nicht.
Ich sagte, stelle das mit Hilfe von [mm] (X_t [/mm] - [mm] X_s)^2 [/mm] dar und das hast du bisher noch nicht gemacht.
Ich sehe keinen Ausdruck [mm] (X_t [/mm] - [mm] X_s)^2 [/mm] bei dir.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Do 06.02.2014 | | Autor: | ivanhoe |
Hallo, nochmals danke für die Hilfestellung
von t war ja nur verlangt t [mm] \ge [/mm] 0, was für mich bedeutet, dass es auch [mm] \infty [/mm] sein kann.
Mir fällt nur ein, dass ich mit [mm] X_t-X_s [/mm] erweiter und dann habe [mm] \bruch{X_t+X_s}{X_t-X_s} (X_t-X_s)^2 [/mm] usw aber wie kann ich denn von hier weiter oder bin ich total auf dem holzweg?
man könnte auch per Nulladdition versuchen das zu konstruieren, aber dann bleiben viele Restterme:
[mm] (X_t-X_s)^2 [/mm] - [mm] 2X_s^2 [/mm] -2 [mm] X_sX_t [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 Do 06.02.2014 | | Autor: | ivanhoe |
Hat keiner eine Idee, wie ich von da weiterkomm?
Ich sehe es leider nicht. Ich hab jetzt mehrmals versucht, die Gleichung umzuschreiben, aber ich sehe die Lösung nicht. Wäre echt dankbar für Hilfe.
viele Grüße
ivanhoe
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Hiho,
> man könnte auch per Nulladdition versuchen das zu
> konstruieren, aber dann bleiben viele Restterme:
> [mm](X_t-X_s)^2[/mm] - [mm]2X_s^2[/mm] -2 [mm]X_sX_t[/mm]
Aha, aber viel in der Richtung scheinst du ja nicht versucht zu haben. Bis zum Ende durchgerechnet hast du es aber offensichtlich nicht.
und so nebenbei: Da muss [mm] +2X_sX_t [/mm] stehen.
Gruß
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Do 06.02.2014 | | Autor: | ivanhoe |
So okay, das Minus hatte ich bei mir nie in Frage gestellt.
Jetzt geht alles auf:
[mm] E[(X_t-X_s)^2|F_s]-2E[X_s^2|F_s]+2E[X_sX_t|F_s]-t+s [/mm] = [mm] E[(X_t-X_s)^2]-2X_s^2+X_sE[X_t|F_s]-t+s [/mm] = [mm] t-s-2X_s^2+2X_s^2-t+s [/mm] = 0
was noch bleibt ist, warum t nicht unendlich sein kann.
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Hiho,
> [mm]E[(X_t-X_s)^2|F_s]-2E[X_s^2|F_s]+2E[X_sX_t|F_s]-t+s[/mm] =
> [mm]E[(X_t-X_s)^2]-2X_s^2+X_sE[X_t|F_s]-t+s[/mm] =
> [mm]t-s-2X_s^2+2X_s^2-t+s[/mm] = 0
> was noch bleibt ist, warum t nicht unendlich sein kann.
Weil [mm] $t\ge [/mm] 0$ eben [mm] $t\in [0,\infty)$ [/mm] bedeutet.
Nehmen wir mal an, es würde [mm] t=\infty [/mm] gehen, dann beantworte mir mal die Frage, wie [mm] X_\infty [/mm] verteilt ist.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:25 Fr 07.02.2014 | | Autor: | ivanhoe |
Alles klar, vielen Dank.
Mir war das nicht bewusst, aber klar, macht Sinn.
Nochmals vielen Dank für die Hilfe.
Gruß,
ivanhoe
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