Brownsche Bewegung - stetig < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Mo 20.04.2015 | | Autor: | waruna |
| Aufgabe | | Brownsche Bewegung ist fast überall stetig und fast nirgendwo differenzierbar. |
Wie kann das gleichzeitig erfüllt sein (ich vermisse kein Beweis, ich will mir das vorstellen können)?
Hat das etwas damit zu tun, wie Brownsche Bewegung definiert ist - das dort man über endlich -dimensionalen Distributionen redet (so ist das in "Stochastic Differential Equation" von Oksendal dargestellt)?
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Hiho,
> Brownsche Bewegung ist fast überall stetig und fast nirgendwo differenzierbar.
> Wie kann das gleichzeitig erfüllt sein (ich vermisse kein
> Beweis, ich will mir das vorstellen können)?
dir scheint nicht klar zu sein, dass das eigentlich nichts besonderes ist, sonst bräuchte man die Unterscheidung ja nicht. Stetige Funktionen sind im Allgemeinen eben nicht gleichzeitig auch differenzierbar.
Das hat nichts mit der Brownschen Bewegung als solche zu tun.
Letztendlich muss die Funktion dafür nur "ausreichend zackig" sein, in der Mathematik bezeichnet man solche Pfade als "rau", dem gegenteil von "glatt".
Spricht man von "ausreichend glatt" meint der Mathematiker "ausreichend oft stetig differenzierbar".
Als Beispiel einer Funktion, die eben überall stetig und nirgends differenzierbar ist, kannst du dir auch mal die ![[]](/images/popup.gif) Weierstraß-Funktion anschauen.
Dort erkennst du auch die "Rauheit" der Funktion.
Insbesondere: Egal wie nah du ranzoomst, die Funktion bleibt so "rau" und wird eben nicht, wie man sich das intuitiv vorstellen könnte, glatter, denn sonst wäre sie ja differenzierbar.
Das ist, meiner Meinung nach, auch eine gute Möglichkeit sich das vorzustellen: Die Funktion ist zackig, auch im unendlich kleinen, d.h. egal wie oft du vergrößerst, die Funktion bleibt so. "Selbstähnlichkeit" wäre hier vielleicht noch ein gutes Stichwort.
Gruß,
Gono
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