Bruch und Betragsungleichungen < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 Mi 12.01.2005 | | Autor: | DrOetker |
Hallo!
Habe da irgendwie so ein ganz schlimmes Problem mit diesen Kriterien bei Betrags- bzw. Bruchungleichungen. Könnt ihr mir helfen?
Hier ein paar Aufgaben:
[mm] x^2<2|x|+x
[/mm]
-> [mm] x^2 [/mm] < -2x + x v [mm] x^2<2x+x
[/mm]
-> L1 = ]-1,0[ v L2=]3, unendl.[
-> L=[-1, 0[ und [3, unendl.[
_____________________________
|3x| < |x+1| -1
3x < x +1-1 v -3x < -x-1-1
2x < 0 -> falsche Auss. v -2x<-2
x>2
L1={leer} v L2=]2, unendl.[
_____________________________
1/(|x|-1) > 1
x>0
1/(x-1) > 1 v 1/(-x-1) > 1
1> x-1 v 1< -x -1
2>x v 2<-x
L=]2,0[ v -2>x
L={leer}
x<0
1/(x-1) < 1 v 1/(-x-1) < 1
1<x-1 v 1> -x -1
2<x v -2<x
L={leer} L=]-2,0[
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Bestimmt haltet ihr schon die Hände über dem Kopf. Daher meine Frage. Könnt ihr mir sagen was ich genau bei Betrags- und Bruchungleichungen beachten muß und wie ich bei den Aufgaben zu einem richtigen ERgebnis komme?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:28 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen DrOetker!
Folgende allgemeine Hinweise gelten bei (Un-)Gleichungen mit Betragsstrichen:
Am sichersten sind immer Fallunterscheidungen bezüglich der Betragsstriche, da ja gilt:
[mm] $|x|=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \ge 0\mbox{} \\ -x, & \mbox{für } x < 0 \mbox{} \end{cases}$
[/mm]
Evtl. ermittelte Lösungen sind dann mit den jeweiligen Fällen zu überprüfen (d.h. auf Widersprüche und/oder Einschränkungen untersuchen).
Für Ungleichungen ist noch zu beachten:
Wenn Du mit einer negativen Zahl multiplizierst bzw. durch eine negative Zahl dividierst, ist das Ungleichheitszeichen umzudrehen.
Das heißt: aus [mm] "$\ge$" [/mm] wird [mm] "$\le$" [/mm] und umgekehrt.
Das gilt natürlich auch bei Multiplikation/Division mit Variablen oder anderen Termen. Diese sind dann ebenfalls auf die Eigenschaft "> 0" oder "< 0" zu untersuchen ...
Grüße
Loddar
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Die werde die Hände nicht mehr über dem Kopf zusammenschlagen, wenn du anfängst, den Formeleditor zu benutzen 
Also, dann mal: was ist zu beachten?
Eine Betragsfunktion wird ja immer dort "aktiv", wenn unter dem Betrag etwas Negatives steht. Wenn man darunter eine Funktion ersten Grades hat, dann entscheidet es sich bei der Nullstelle, wo der Betrag aktiv werden muss, und wo nicht.
Man schaut sich also alle Beträge an, bestimmt von jedem Term die Nullstelle (ich geh immernoch von Funktionen 1. Grades aus), und muss sich dann die x-Achse in die Bereiche aufteilen: von [mm]-\infty[/mm] bis zur ersten ("linkesten") Nullstelle, von der zweiten zur dritten,..., von der letzten Nullstelle bis [mm]+\infty[/mm].
Das scheinst du bei der zweiten Aufgabe vergessen zu haben, da der erste Betragsterm die Nullstelle [mm]x=0[/mm] hat, und die zweite [mm]x=-1[/mm] - bei dir seh ich nur eine Fallunterscheidung. Du müsstest aber die Fälle betrachten [mm] ]-\infty ; -1[ [/mm] , [mm] [-1 ; 0] [/mm] , [mm] ]0 ; \infty[ [/mm]. Dann wird es auch einen Fall geben, bei dem der eine Betrag alle Vorzeichen umdreht, der andere aber nicht.
Die erste Aufgabe hab ich mal durchgerechnet; der Fall [mm]x<0[/mm] ist richtig geworden, beim Fall [mm]x>0[/mm] hast du dich verrechnet: die Ungleichung [mm]x^2<3x[/mm] formst man am besten so um: [mm]x^2-3x<0[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm]x \cdot (x-3)<0[/mm].
Wenn auf der rechten Seite die Null steht, und man hat links ein Produkt, dann isses ziemlich praktisch. Wann wird ein Produkt aus zwei Faktoren [mm]<0[/mm]? Wenn die beiden Faktoren unterschiedliche Vorzeichen haben - also entweder *[mm]x<0[/mm] und [mm]x>3[/mm]* , oder *[mm]x>0[/mm] und [mm]x<3[/mm]*. Wobei nicht alle Fälle eine Lösung haben müssen - *[mm]x<0[/mm] und [mm]x>3[/mm]* liefert keine Lösung, da nicht beides gleichzeitig erfüllt sein kann. Also ist die zweite Teillösung [mm]\IL_2=]0 ; 3[ [/mm].
Für die restlichen Aufgaben hab ich jetzt grad keine Zeit, aber vielleicht schaut sich's jemand anders an, oder du kommst jetzt alleine weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Mi 12.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Am leichteste löst man soche Aufgaben graphisch: also trage y= 2|x|+x ein,falls du das nicht so kannst nimm die Werte x=0,-1,+1 dann hast du die 2 Geradenhälften, dazu dann [mm] y=x^2 [/mm] und du siehst wie es geht! Die Methode klappt fast immer mit Ungleichungen
Gruss leduart
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