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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Di 21.09.2004 | | Autor: | Blacky |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hallo,
wir haben heute folgende Funktion als Hausaufgabe aufbekommen:
[mm]f(x) = \bruch {4 - x} {\wurzel{5 - 2x}} [/mm]
Nun sollen mit Hilfe der ersten 3 Ableitungen lokale Hoch/Tiefpunkte sowie Wendepunkte berechnet werden.
Produkt, Quotienten und Kettenregel sind mir bekannt. Darüber hinaus weiß ich, dass die Funktion einen lokalen Tiefpunkt (1 / y) und einen Wendepunkt (-2 / y) hat. (Das kann ich aus der computertechnischen Zeichnung erkennen.) Nun sollen wir das aber eben über die Nullstellen beweisen. Das schwierige hierbei sind jedoch die ersten drei Ableitungen.
Als erste Ableitung habe ich:
[mm] \bruch {x-1} {\wurzel{5 - 2x} * (5 - 2x)} [/mm]
raus. Das kommt auch noch mit der 0 Stelle bei 1 hin.
Aber die 2te Ableitung ist bei mir dann so entgleist:
[mm] \bruch {- 6x² - 9x - 20} {\wurzel{5 - 2x} * (5 - 2x)³} [/mm]
Wenn ich nun aber in den Nenner -2 einsetze kriege ich keine Nullstelle, also muss unterwegs was schiefgegangen sein :( So macht es für mich natürlich keinen Sinn weiter zu rechnen. Wäre nett wenn mir jemand die richtige 2te Ableitung sagen könnte, dann könnte ich erstens weiter rechnen und zweitens vielleicht meine Fehler bei der Rechnung erschließen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Di 21.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich habe mit der Quotientenregel für die zweite Ableitung
$f''(x) = [mm] \frac{x+2}{(5-2x)^{\frac{5}{2}}}$
[/mm]
raus.
So geht es:
$f''(x) = [mm] \frac{(5-2x)^{\frac{3}{2}} + (x-1) \cdot3 \cdot (5-2x)^{\frac{1}{2}}}{(5-2x)^3} [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
Schaffst du das, auf das obige Ergebnis zu kommen? Wenn nicht, dann melde dich bitte wieder. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Blacky |
[mm] f''(x) = \frac{(5-2x)^{\frac{3}{2}} + (x-1) \cdot3 \cdot (5-2x)^{\frac{1}{2}}}{(5-2x)^3} [/mm]
Bis zu diesem Schritt kann ich alles nachvollziehen. Das habe ich dann zu
[mm]f''(x) = \frac{(5-2x)^{\frac{3}{2}} + (3x-3) \cdot (5-2x)^{\frac{1}{2}}}{(5-2x)^3} [/mm]
umgeformt und nun hab ich ein Brett vorm Kopf. Ich hab mir nochmal die Potenzregeln in den Kopf gerufen aber ich komme nicht weiter. Ich habe 3 gleiche Basen mit unterschiedlichen Exponenten. Im Zähler muss ich Punkt vor Strich beachten weshalb ich dort nicht weiterkomme. Ich darf ja bei unterschiedlichen Basen und Exponenten auch nicht ausmultiplizieren. Teile des Zählers darf ich ja auch nicht mit dem Nenner kürzen da ich im Zähler eine Summe habe oder ?
Ich weiß echt nicht wo ich ansetzen soll :|
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Blacky |
Ich habe jetzt den Zähler als
[mm] (5-2x)^\bruch{1}{2} * (5-2x)^\bruch{1}{2} * (5-2x)^\bruch{1}{2} + (3x-3)^\bruch{1}{2} * (3x-3)^\bruch{1}{2} * (5-2x)^\bruch{1}{2} [/mm]
geschrieben und beide Seiten ausmultipliziert. Ziemlich sinnloses Unterfangen, da ich ja jetzt auch nicht weiterkomme. Zum addieren von 2 Potenzen brauch man ja gleichen Exponenten UND Basis. Ich könnte mir vorstellen das man Teile des Zählers gegen Teile des Nenners kürzen könnte, bin mir jedoch wegen der Summe im Zähler unsicher.
So bin jetzt erstmal im Fußball Stadion Dortmund - Unterhaching gucken. Vielen Dank für die bisherigen Antworten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Andi |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Christoph,
ich glaub es wird langsam Zeit dich von deiner Leitung runter zu bringen.
Das war ja dein letztes Ergebnis:
$ f''(x) = \frac{(5-2x)^{\frac{3}{2}} + (3x-3) \cdot (5-2x)^{\frac{1}{2}}}{(5-2x)^3} $
Dann habe ich dir folgende Umformung verraten:
$ (5-2x)^{\bruch{3}{2}}=(5-2x)^{1+\bruch{1}{2}}=(5-2x)^1\cdot{}(5-2x)^{\bruch{1}{2} $
Das zusammen ergibt:
$ f''(x) = \frac{(5-2x)^1\cdot{}(5-2x)^{\bruch{1}{2} } + (3x-3) \cdot (5-2x)^{\frac{1}{2}}}{(5-2x)^3} $
Jetzt kannst du doch im Zähler [mm] (5-2x)^{\bruch{1}{2} [/mm] ausklammern:
[mm] f''(x)=\bruch{(5-2x)^\bruch{1}{2}((5-2x)+(3x-3))}{(5-2x)^3} [/mm]
So jetzt erweitert man den Bruch mit [mm] (5-2x)^{-\bruch{1}{2}} [/mm]:
[mm] f''(x)=\bruch{((5-2x)+(3x-3))}{(5-2x)^3*(5-2x)^{-\bruch{1}{2}}} [/mm]
Hier kann man den Nenner noch mit einem Potenzgesetz vereinfachen und im Zähler löst man einfach die Klammern auf:
Ich denke ab hier könntest du mal wieder weitermachen, oder ? 
> Ich habe jetzt den Zähler als
> [mm](5-2x)^\bruch{1}{2} * (5-2x)^\bruch{1}{2} * (5-2x)^\bruch{1}{2} + (3x-3)^\bruch{1}{2} * (3x-3)^\bruch{1}{2} * (5-2x)^\bruch{1}{2}[/mm]
>
> geschrieben und beide Seiten ausmultipliziert. Ziemlich
> sinnloses Unterfangen, da ich ja jetzt auch nicht
> weiterkomme. Zum addieren von 2 Potenzen brauch man ja
> gleichen Exponenten UND Basis. Ich könnte mir vorstellen
> das man Teile des Zählers gegen Teile des Nenners kürzen
> könnte, bin mir jedoch wegen der Summe im Zähler unsicher.
Das Stimmt, aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen *g*
Drum heißt das Zauberwort auch hier mal wieder: Faktorisieren
> So bin jetzt erstmal im Fußball Stadion Dortmund -
> Unterhaching gucken. Vielen Dank für die bisherigen
> Antworten.
Viel Spass beim Spiel.
Mit freundlichen Grüßen, Andi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Do 23.09.2004 | | Autor: | Blacky |
Hihi, da die Seite ja bis gerade eben nicht erreichbar war musste ich mich nochmal alleine mit dieser Aufgabe beschäftigen, da ich sie ja bis morgen auf habe. Ich setzte mich hin, guckte nochmal das an was mir von dir verraten wurde und kam tatsächlich selbst darauf im Zähler auszuklammern :)
Danke für deine Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 Do 23.09.2004 | | Autor: | Andi |
Hallo Christoph,
> Hihi, da die Seite ja bis gerade eben nicht erreichbar war
> musste ich mich nochmal alleine mit dieser Aufgabe
> beschäftigen, da ich sie ja bis morgen auf habe. Ich setzte
> mich hin, guckte nochmal das an was mir von dir verraten
> wurde und kam tatsächlich selbst darauf im Zähler
> auszuklammern :)
Na das ist doch prima.
> Danke für deine Hilfe!
Danke für dein Feedback.
Mit freundlichen Grüßen, Andi.
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