Bruchrechnung < Klassen 5-7 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:16 So 21.03.2004 | | Autor: | Angus |
hallo ich bin der Angus und gehe in die 6.Klasse
ich habe schwierigkeiten beim addieren, subtrahieren,multiplizieren und dividieren von gleichnamigen und ungleichnamigen Brüchen.
ich wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir lösungswege erklären könntet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 So 21.03.2004 | | Autor: | Youri |
Hallo Angus -
> hallo ich bin der Angus und gehe in die 6.Klasse
> ich habe schwierigkeiten beim addieren,
> subtrahieren,multiplizieren und dividieren von
> gleichnamigen und ungleichnamigen Brüchen.
> ich wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir lösungswege
> erklären könntet
Willkommen im MatheRaum -
gerne erklären wir Dir die Lösungswege zu Aufgaben,
die Dir Probleme bereiten.
Schreib' uns doch mal ein Beispiel, damit
wir wissen, wo wir anfangen sollen.
Welche Aufgabe konntest Du nicht lösen?
Bei welcher Aufgabe hast Du falsche Ergebnisse,
weisst aber nicht, warum?
Viele Grüße,
Andrea.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 So 21.03.2004 | | Autor: | Angus |
Hallo Andrea,
hier sende ich Aufgaben die mir Probleme bereiten.
| Aufgabe | Berechne.
2/3+7/12
15/24+13/20
4/7-1/5
9/10x5/2
12x17/4
3/4:5/2
4/5:8/15 |
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 So 21.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Angus,
> hier sende ich Aufgaben die mir Probleme bereiten.
>
> 2/3+7/12
[mm] $\bruch{2}{3}+\bruch{7}{12}$
[/mm]
Hier sollen also zwei Brüche addiert werden.
Merksatz dazu: Zwei Brüche werden addiert, indem man sie gleichnamig macht und dann nur die Zähler addiert und den Nenner beibehält.
Machen wir sie also zunächst gleichnamig. Dies macht man immer durch "geschicktes" Erweitern oder Kürzen der Brüche. Was Erweitern und Kürzen ist, weißt du schon, oder?
In diesem speziellen Fall teilt der erste Nenner (die $3$) den zweiten Nenner (die $12$), deswegen ist es ganz einfach, den Erweiterungsfaktor des ersten Bruches zu finden: Er ist [mm] $\red{4}$, [/mm] denn:
1. Bruch: [mm] $\bruch{2}{3}=\bruch{2*\red{4}\black{}}{3*\red{4}\black{}}=\bruch{8}{12}$
[/mm]
Das reichte hier schon aus, um die beiden Brüche gleichnamig zu machen; beide Nenner sind jetzt $12$ und wir können endlich mit der eigentlichen Addition beginnen.
Im Merksatz steht dazu, dass nur die Zähler addiert werden sollen, der Nenner aber beibehalten werden soll: Die Zähler lauten $8$ und $7$ und $8+7=15$; der Nenner lautet weiterhin $12$. Damit sind wir fast fertig, ich schreibe die bisherige Rechnung nochmal komplett auf:
[mm] $\bruch{2}{3}+\bruch{7}{12}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{2\red{*4}\black{}}{3\red{*4}\black{}}+\bruch{7}{12}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{8}{12}+\bruch{7}{12}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{8+7}{12}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{15}{12}$
[/mm]
Hier kann man nun noch kürzen, das sollte man immer tun, da man sich so Rechenvorteile verschaffen kann (in weiteren Rechnungen); die folgenden Rechnungen haben aber nichts mehr mit der eigentlichen Addition der Brüche zu tun, es handelt sich hier nun um Vereinfachungen des Ergebnisses; ich gehe mal nicht weiter auf diese Rechnungen ein, da ich davon ausgehe, dass du sie beherrschst (falls nicht: Nachfragen!):
[mm] $=\bruch{15\red{:3}\black{}}{12\red{:3}\black{}}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{5}{4}$
[/mm]
Da der Nenner kleiner als der Zähler ist, handelt es sich hier um einen unechten Bruch, den man häufig auch als gemischte Zahl schreibt:
[mm] $=1\,\bruch{1}{4}$
[/mm]
Das ist nun das offizielle Endergebnis.
Da dies eine ziemlich lange Rechnung war (weil ich immer mit aufgeschrieben habe, was ich mir "dabei gedacht" habe), will ich auch noch eine kurze und knappe Rechnung angeben; so würde es z.B. in einer Arbeit reichen:
[mm] $\bruch{2}{3}+\bruch{7}{12}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{8}{12}+\bruch{7}{12}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{15}{12}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{5}{4}$
[/mm]
[mm] $=1\,\bruch{1}{4}$
[/mm]
> 15/24+13/20
[mm] $\bruch{15}{24}+\bruch{13}{20}$
[/mm]
Hier zeige ich dir nur mal, wie man die beiden Brüche gleichnamig machen kann; die eigentliche Addition überlasse ich dir zur Übung, würde sie aber gerne kontrollieren 
Die Fragestellung ist hier: Womit muß ich $24$ und womit $20$ multiplizieren, damit dieselbe Zahl herauskommt? Das ist gar nicht so einfach, und deswegen auch gleich das schwierigste der ganze Bruchrechnung. Ich weiß jetzt (natürlich) nicht, ob du bereits das kgV ("kleinste gemeinsame Vielfache") oder die Primfaktorzerlegung kennst; falls nicht, ist auch nicht schlimm, falls doch, würde ich es gerne genau wie Ihr in der Schule machen; melde Dich dann bitte noch mal.
Ein Weg, den gemeinsamen Nenner (=das gemeinsame Vielfache der Nenner) zu finden, ist, sich alle Vielfache der ersten Zahl anzusehen und sich für jedes Vielfache im Kopf zu fragen: Ist dieses Vielfache durch die zweite Zahl teilbar (ohne Rest)? Falls ja, dann hast du das gemeinsame Vielfache gefunden. Machen wir das mal für die $24$ und die $20$. Ich schreibe nun so lange Vielfache von $24$ auf, bis ich eines gefunden habe, das durch $20$ teilbar ist:
[mm] $\red{24\quad48\quad72\quad96}\quad \blue{120}$
[/mm]
Die blaue Zahl ist die erste in dieser Reihe, die durch $20$ teilbar ist. Wir erklären sie zu unserem Hauptnenner. Nun ist ganz klar, dass wir den ersten Bruch mit $5$ erweitern müssen, den zweiten Bruch mit $6$ (denn $120:24=5$ und $120:20=6$):
[mm] $\bruch{15}{24}+\bruch{13}{20}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{15\red{*5}\black{}}{24\red{*5}\black{}}+\bruch{13\red{*6}\black{}}{20\red{*6}\black{}}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{75}{120}+\bruch{78}{120}$
[/mm]
Beide Brüche sind nun gleichnamig, und können wie im ersten Beispiel addiert werden (Zähler addieren, Nenner beibehalten, kürzen, fertig).
> 4/7-1/5
[mm] $\bruch{4}{7}-\bruch{1}{5}$
[/mm]
Die Addition und Subtraktion unterscheiden sich kaum; der Merksatz für die Subtraktion lautet:
Merksatz dazu: Zwei Brüche werden subtrahiert, indem man sie gleichnamig macht und dann nur die Zähler subtrahiert und den Nenner beibehält.
Hier habe ich einfach nur "addiert" durch "subtrahiert" ersetzt.
Versuche es doch jetzt mal ganz alleine, das Ergebnis zu finden. Ich schreibe dir zur Sicherheit die nötigen Rechenschritte noch mal auf:
a) Brüche gleichnamig machen, d.h., den Hauptnenner finden (siehe oben)
b) Erst jetzt spielt die Subtraktion eine Rolle: Jetzt werden nämlich die Zähler subtrahiert, der Nenner aber beibehalten
c) Kürzen
d) fertig!
Melde dich einfach, wenn du weitere Fragen hast oder nicht weiter kommst, wir helfen dir sicher weiter.
Die restlichen Aufgaben zur Multiplikation und Division von Brüchen schreibe ich in einem eigenen Artikel (dieser wird aber sehr viel kürzer, da Malnehmen und Teilen sehr viel einfacher ist.
Übrigens: Falls du uns deine Ergebnisse senden willst oder eine weitere Frage zu diesem Thema stellen willst, klicke bitte auf die Schaltfläche "Ich möchte jetzt eine Frage zu dieser Antwort stellen.", dann erscheint deine Frage nämlich in diesem Diskussionsstrang und Außenstehende wissen, dass die Artikel zusammengehören.
Bis morgen hoffe ich (jetzt wirst du hoffentlich schon schlafen  )
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 So 21.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Angus!
> 9/10x5/2
[mm] $\bruch{9}{10}*\bruch{5}{2}$
[/mm]
Wie angekündigt, ist die Multiplikation --was die Menge an zu beachtenden Regeln angeht-- sehr viel einfacher als die Addition und Subtraktion; bei der Multiplikation ist das Gleichnamig-Machen nämlich nicht nötig:
Merksatz: Zwei Brüche werden multipliziert, indem die Zähler multipliziert werden und die Nenner ebenfalls.
[mm] $\bruch{9}{10}*\bruch{5}{2}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{9*5}{10*2}$
[/mm]
Hier kann ich schon kürzen, das sollte ich auch tun, da Kopfrechnen nicht meine Stärke ist:
[mm] $=\bruch{9*\red{1}\black{}}{\red{2}\black{}*2}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{9}{4}$
[/mm]
Die Multiplikation ist beendet, da das Ergebnis aber ein unechter Bruch ist schreibe ich ihn noch als gemischte Zahl:
[mm] $=2\;\bruch{1}{4}$
[/mm]
Einfach, oder?
> 12x17/4
[mm] $12*\bruch{17}{4}$
[/mm]
Hier hast du mindestens zwei Möglichkeiten der Berechnung:
a) Die wandelst die $12$ in einen (unechten) Bruch um: [mm] $12=\bruch{12}{1}$ [/mm] und kannst die beiden Brüche nun wie im obigen Beispiel multiplizieren.
b) Du lernst einen eigenen Merksatz für diesen Fall, der da lautet: Ein Bruch wird mit einer Zahl multipliziert, indem nur der Zähler mit dieser Zahl multipliziert wird und der Nenner beibehalten wird. Dieser Merksatz ist nicht so besonders interessant, du siehst ihn sofort ein, wenn du einmal die Möglichkeit a) gerechnet hast.
Vergiß' das Kürzen aber nicht, möglichst schon vor dem Multiplizieren:
[mm] $12*\bruch{17}{4}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{12*17}{4}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{\red{3}\black{}*17}{\red{1}}$
[/mm]
$=3*17$
$=51$
> 3/4:5/2
[mm] $\bruch{3}{4}\;:\;\bruch{5}{2}$
[/mm]
Mit dem folgenden Merksatz ist auch die Division zweier Brüche kein Geheimnis mehr:
Merksatz: Zwei Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrbruch des zweiten multipliziert.
Ein Kehrbruch (vielleicht besser bekannt als Kehrwert) ist einfach ein Bruch, dessen Zähler und Nenner vertauscht sind. Der Kehrwert des zweiten Bruches lautet deswegen: [mm] $\bruch{2}{5}$.
[/mm]
Der Merksatz sagt nun: Statt durch [mm] $\bruch{5}{2}$ [/mm] zu dividieren, kann man einfach mit [mm] $\bruch{2}{5}$ [/mm] multiplizieren. Also:
[mm] $\bruch{3}{4}\;:\;\bruch{5}{2}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{3}{4}\red{*}\black{}\bruch{\red{2}\black{}}{\red{5}\black{}}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{3*2}{4*5}$ [/mm] Kürzen nicht vergessen:
[mm] $=\bruch{3*1}{2*5}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{3}{10}$
[/mm]
> 4/5:8/15
[mm] $\bruch{4}{5}\;:\;\bruch{8}{15}$
[/mm]
Bekommst du das nun alleine hin? Versuch's doch mal und melde dich einfach, wenn du nicht weiter kommst. Oder wir kontrollieren deine Ergebnisse
Viel Erfolg,
Marc
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