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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Di 04.01.2005 | | Autor: | anka81 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Habe folgende Aufgabe gestellt bekommen:
"Gegeben sind zwei Bruchzahlen [mm] a=\bruch{k}{l} [/mm] und [mm] b=\bruch{m}{n} (k,l,m,n\in [/mm] N) mit a < b.
a)Berechnen sie die Bruchzahl, die genau in der Mitte zwischen aund b liegt.
b) Wir "addieren falsch" und bilden die Bruchzahl c= [mm] \bruch{k+m}{l+n} [/mm] . Was kann man allgemein über die Lage von c aussagen ? /Experimentieren sie mit Beispielen, um eine solche Aussgage zu finden!). Beweisen sie eine der beiden gefundenen Teilaussagen formal."
Leider verstehe ich die Aufgabe so gut wie gar nicht. Muss ich bei a) a-b rechnen ? erhalte ich so das Ergebnis ?
Und wie kann man "falsch addieren" ? Zur Lage von c kann ich leider auch nix sagen. Bin völlig verwirrt ! Wäre für jede Hilfe dankbar !!!
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Hallo!
Wir freuen uns hier auch über eine Anrede! 
> Habe folgende Aufgabe gestellt bekommen:
> "Gegeben sind zwei Bruchzahlen [mm]a=\bruch{k}{l}[/mm] und
> [mm]b=\bruch{m}{n} (k,l,m,n\in[/mm] N) mit a < b.
> a)Berechnen sie die Bruchzahl, die genau in der Mitte
> zwischen aund b liegt.
Soweit ich weiß berechnet man "die Mitte" zweier Zahlen so: [mm] \bruch{a+b}{2} [/mm] (das nennt sich auch arithmetisches Mittel)
Du hättest also:
[mm] \bruch{a+b}{2} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{k}{l}+\bruch{m}{n}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{kn}{ln}+\bruch{ml}{nl}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{kn+ml}{2nl}
[/mm]
Du kannst das ja auch mal für ein paar Beispiele nachrechnen! 
> b) Wir "addieren falsch" und bilden die Bruchzahl c=
> [mm]\bruch{k+m}{l+n}[/mm] . Was kann man allgemein über die Lage von
> c aussagen ? /Experimentieren sie mit Beispielen, um eine
> solche Aussgage zu finden!). Beweisen sie eine der beiden
> gefundenen Teilaussagen formal."
Mit "falsch addieren" ist hier nur genau das gemeint, was gemacht wird, also c ist nicht die "richtige Summe" der beiden Brüche, denn um die zu berechnen muss man die Brüche ja erstmal erweitern (so, wie ich das bei a gemacht habe), sondern c wird berechnet, indem einfach die beiden Zähler addiert und ebenfalls die beiden Nenner addiert werden.
Ich bin im Moment zu faul, so viele Sachen auszuprobieren, um etwas herauszufinden, aber ich versuche dir mal eins vorzurechnen, und vielleicht kommst du dann alleine weiter?
Nehmen wir doch einfach mal k=l=m=n=1, dann erhalten wir:
a=1, b=1
[mm] c=\bruch{2}{2}=1 [/mm] - wir erhalten also die gleiche Zahl wie vorher
nehmen wir k=l=m=n=2, so erhalten wir:
a=1, b=1
[mm] c=\bruch{4}{4}=1 [/mm] - wir erhalten also wieder 1
Daraus sieht man, dass immer, wenn k=l=m=n ist, 1 herauskommt. Das ist wahrscheinlich noch eine relativ unwichtige Erkenntnis, wäre aber ein Anfang.
Nun probieren wir mal andere Zahlen:
k=1, l=2, m=3, n=4
wir erhalten:
[mm] a=\bruch{1}{2}=0,5; b=\bruch{3}{4}=0,75
[/mm]
[mm] c=\bruch{4}{6}=0,\overline{6}
[/mm]
rechnen wir das arithmetische Mittel von a und b aus, erhalten wir: 0,625, das heißt, c durch "falsches Addieren" berechnet, liegt etwas oberhalb des arithmetischen Mittels - jedenfalls für dieses Beispiel.
Ich nehme an, wenn du noch mehr Zahlen ausprobierst, erhälst du ein allgemein gültiges Ergebnis, welches das ist, weiß ich im Moment auch nicht. Vielleicht kannst du auch nur eine Aussage darüber machen, ob c zwischen a und b liegt oder "oberhalb" oder "unterhalb". Oder vielleicht muss man auch mit einer Fallunterscheidung arbeiten, um eine allgemeine Aussage machen zu können.
Vielleicht rechnest du mal selber noch ein paar Beispiele durch, und wenn du nicht weiterkommst, zeigst du mir deine Beispiele?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
> Leider verstehe ich die Aufgabe so gut wie gar nicht. Muss
> ich bei a) a-b rechnen ? erhalte ich so das Ergebnis ?
> Und wie kann man "falsch addieren" ? Zur Lage von c kann
> ich leider auch nix sagen. Bin völlig verwirrt ! Wäre für
> jede Hilfe dankbar !!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Fr 07.01.2005 | | Autor: | anka81 |
entschuldige ! hallo natürlich !!!
deine tips habe mir schon sehr gut weitergeholfen !
habe bei b) mit verschiedenen zahlen "rumgespielt".
z.b.k=4,l=5,m=6,n=7 dann ist c= (falsch addiert ) = [mm] \bruch{5}{6}
[/mm]
oder k=1,l=2,m=2,n=3 dann ist c= [mm] \bruch{3}{5}
[/mm]
c liegt zwischen a und b ist aber grösser als c (richtig addiert)
a< [mm] c_{f} [/mm] < b und [mm] c_{r} [/mm] < [mm] c_{f}
[/mm]
die aufgabe beinhaltet ja auch noch den formalen beweis der zwei teilaussagen.
jetzt weiss ich erstens leider nicht, wie man formal beweist und zweitens nicht, welche die zwei teilaussagen sind.
habe folgende idee:
formal geschrieben:
[mm] \bruch{kn+ml}{2nl} [/mm] < [mm] \bruch{k+m}{l+n} [/mm]
[mm] \gdw [/mm] (kn+ml)*(l+n) < (2nl)*k+m)
ist das schon ein beweis ? und die beieden teilaussagen, sind das die aussagen links und rechts des pfeils ?
lg, anka
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Hallo Anka
> c liegt zwischen a und b ist aber grösser als c (richtig
> addiert)
> a< [mm]c_{f}[/mm] < b und [mm]c_{r}[/mm] < [mm]c_{f}
[/mm]
[mm] $a
Vermutlich hast du aber mit [mm] c_r [/mm] das arithmetische Mittel von a und b gemeint. Denn $ arith(a,b)<c $ hab ich auch heraus! Ich vermute sogar, dass mit a<b auch $a < arith(a,b) < c < b $ folgt!
>
> die aufgabe beinhaltet ja auch noch den formalen beweis der
> zwei teilaussagen.
> jetzt weiss ich erstens leider nicht, wie man formal
> beweist und zweitens nicht, welche die zwei teilaussagen
> sind.
> habe folgende idee:
> formal geschrieben:
> [mm]\bruch{kn+ml}{2nl}[/mm] < [mm]\bruch{k+m}{l+n}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] (kn+ml)*(l+n) < (2nl)*k+m)
>
> ist das schon ein beweis ? und die beieden teilaussagen,
> sind das die aussagen links und rechts des pfeils ?
Leider ist der Beweis nicht ausreichend. Der Anfang stimmt zwar, sollte aber noch weitergeführt werden:
$arith(a,b)<c$
[mm] $\gdw \frac{kn+ml}{2nl}<\frac{k+m}{l+n}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] (kn+ml)(l+n)<(l+m)2nl$
[mm] $\gdw knl+kn^2+ml^2+mnl [/mm] < 2knl +2mnl$
[mm] $\gdw kn^2+ml^2 [/mm] < knl + nml$
[mm] $\gdw [/mm] kn(n-l) < ml(n-l)$
[mm] $\gdw \frac{k}{l}<\frac{m}{n}$
[/mm]
Da ich nur Äquivalenzumformungen angewand habe gilt also: $arith(a,b)<c [mm] \gdw [/mm] a<b$ und da die Aussage rechts stimmt (a<b) gilt auch die links (die zu beweisen war)!!!
Damit wäre (formal) bewiesen: $arith(a,b)<c$
mit $a<arith(a,b)<b$ erhällt man dann das Zwischenergebniss:
$ a<arith(a,b)<c $
Du kannst jetzt ja mal selber versuchen zu beweisen, dass immer c<b gilt, oder dies anhand eines geeigneten Gegenbeispieles zu wiederlegen.
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Fr 07.01.2005 | | Autor: | anka81 |
Hallo Samuel !
in der aufgabenstellung steht geschrieben, dass ich die genaue mitte zwischen aund b finden soll. das habe ich mit dem arithmetischen mittel gemacht und das ergebnis c genannt.
[mm] c_{r} [/mm] = arith(a,b)
ist [mm] c_{r} [/mm] < [mm] c_{f} [/mm] dann nicht doch richtig ?
[mm] c_{r} \not= [/mm] a+b , [mm] c_{r}= \bruch{a+b}{2} [/mm]
Vielen Dank für deine Hilfe !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Teletubyyy |
Klar!
Wenn du das so gemeint hast stimmt das natürlich: [mm] $c_r=arith(a,b)
Gruß Samuel
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