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| Aufgabe | Zeige, dass man jeden Bruch q ∈ ℚ
so als q = c/m geschrieben werden kann, dass
m = 9 ... 90 ... 0 gilt ( m hat genau k + l Ziffern (k, l ∈ ℕ); dabei sind die ersten k Ziffern jeweils 9 und die letzten l Ziffern jeweils 0) |
Ich hätte da jetzt mal dahin gehend argumentiert, das man ja jeden Bruch so erweitern kann, das im Nenner der gewünschte Ausdruck (9...90...0) steht. Bin mir aber nicht sicher ob das der richtige Weg ist, geschweige denn wie ich das mathematisch korrekt formulieren soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:33 Di 04.11.2014 | | Autor: | Fulla |
> Zeige, dass man jeden Bruch q ∈ ℚ
> so als q = c/m geschrieben werden kann, dass
> m = 9 ... 90 ... 0 gilt ( m hat genau k + l Ziffern (k, l
> ∈ ℕ); dabei sind die ersten k Ziffern jeweils 9 und die
> letzten l Ziffern jeweils 0)
> Ich hätte da jetzt mal dahin gehend argumentiert, das man
> ja jeden Bruch so erweitern kann, das im Nenner der
> gewünschte Ausdruck (9...90...0) steht. Bin mir aber nicht
> sicher ob das der richtige Weg ist, geschweige denn wie ich
> das mathematisch korrekt formulieren soll.
Hallo Valkyrion,
ich habe keine Lösung für die Aufgabe, aber vielleicht eine Idee.
Die Aufgabe ja gleichbedeutend mit:
Man zeige, dass es [mm]k,l\in\mathbb N[/mm] gibt, so dass [mm]m:=\underbrace{99\ldots 99}_{k\text{ Ziffern}}\underbrace{00\ldots 00}_{l\text{ Ziffern}}[/mm] durch eine gegebene Zahl [mm]a\in\mathbb N[/mm] teilbar ist.
Dieses a würde ich in Primfaktorzerlegung schreiben und dann Teilbarkeitsregeln betrachten.
Ist beispielsweise [mm]a=32=2^5[/mm], muss m auf mindestens fünf Nullen enden.
Ebenso mit dem Primfaktor 5: für [mm]a=5^8[/mm] muss m auf mindestens 8 Nullen enden.
Für den Primfaktor 3 kann man vielleicht was mit der Querstumme anstellen.
Das Problem dabei ist, dass du für unendlich viele durchgehen musst....
Vielleicht ist das auch gar nicht zielführend, bringt dich aber auch neue Ideen.
Lieben Gruß,
Fulla
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Hi Valkyrion,
eine sehr schoene Aufgabe, an der man durchaus einige Zeit knobeln kann.
Ich hoffe du kennst dich mit modulo-Rechnung ein wenig aus?
Aber ok, legen wir los: wie Fulla schon richtig gesagt hat musst du zeigen, dass es fuer jedes $a [mm] \in \IN$ [/mm] ein $k [mm] \in \IN$ [/mm] und ein $l [mm] \in \IN$ [/mm] gibt, sodass $a [mm] \mid (10^k-1)\cdot 10^l$.
[/mm]
Das ist im Endeffekt nur deine Idee, das ganze zu erweitern.
Beachte hierbei, dass ich die Neunerkette als Zehnerpotenz minus 1 geschrieben habe, das wird nachher noch wichtig.
Nun finden wir erstmal das $l$. Dafuer musst du gucken wie viele Zweien und Fuenfen in der Primfaktorzerlegung von $a$ stecken.
Gehen wir davon aus, dass du das $l$ gefunden hast, also gehen wir ab jetzt mal davon aus, dass $a$ weder durch $2$ noch durch $5$ teilbar ist (mach dir klar, wieso diese Vermutung moeglich ist!).
Warum existierst jetzt ein $k [mm] \in \IN$, [/mm] sodass $a [mm] \mid 10^k-1$?
[/mm]
Oder mit modulo geschrieben:
Warum existiert ein $k [mm] \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $10^k [/mm] -1 [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \mod{a}$?
[/mm]
Also, ich hab dir ein paar kleine Fragen offen gelassen, du sollst ja auch noch ein wenig dran basteln. Aber ich hoffe ich konnte dir helfen und du bekommst den Rest zusammengebaut.
Sollte es noch irgendwo haken kannst du gern fragen.
lg
Schadow
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