Brüche und Beträge < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Do 25.10.2007 | | Autor: | Tobi86 |
| Aufgabe | Lösen von Gleichungen bzw. Ungleichungen mit Beträgen und Brüchen.
Geben Sie folgende Mengen als Intervall oder als Menge mit endlich vielen Elementen
an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also die aufgabe lautet,wie folgt:
4/|x-8|>= 2/(x+3)
man muss aufgrund des betrages eine fallunterscheidung machen,klar.
1.Fall x-8>=0
ergebnis meiner rechnung wäre dann x < -14
2.fall x-8<0
ergebnis wäre dann >= 2/3
so,wenn ich es nun mit intervallen angeben will,muss ich es nun so schreiben??
]- [mm] \infty;-14[ \cup [/mm] [2/3; [mm] +\infty [/mm] [
Bitte um korrektur!!
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 12:22 Do 25.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
meinst du:
[mm] \bruch{4}{|x-8|}\ge\bruch{2}{x+3}?
[/mm]
Dann ist die Fallunterscheidung auf jeden Fall korrekt.
Aber das Ergebnis passt nicht
Also: Fall 1: x-8>0 [mm] \Rightarrow [/mm] x>8
Dann:
[mm] \bruch{4}{|x-8|}\ge\bruch{2}{x+3}
[/mm]
[mm] \gdw x\ge2 [/mm]
Also gilt [mm] x\ge2 [/mm] und x>8, also insgesamt x>8
2. Fall: x<8
Dann wird
[mm] \bruch{4}{|x-8|}\ge\bruch{2}{x+3}
[/mm]
zu
[mm] \bruch{4}{8-x}\ge\bruch{2}{x+3}
[/mm]
[mm] \gdw 4(x+3)\red{\le}2(8-x)
[/mm]
[mm] \gdw x\red{\le}\bruch{2}{3}
[/mm]
Also insgesamt [mm] x\le\bruch{2}{3} [/mm] und x<8, somit [mm] x\le\bruch{2}{3}
[/mm]
Also ist die Lösungsmenge:
[mm] \IL=(-\infty;\bruch{2}{3}]\cup[8;\infty)
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Do 25.10.2007 | | Autor: | Tobi86 |
eine kleine frage noch, wenn ich nun eine gleichung habe,z.b.: diese hier
|9-3x|-|2x-1|= 4-2x
müsste ich doch vorher auch den betrag ausrechnen,also:
9-3x>=0 -> x>= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] bzw. das gleiche für x< [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
und das gleiche machen für 2x-1!!
das bedeutet,ich müsste 4 verschiedene fälle durchspielen!
als ergebnisse würde ich doch dann auch Intervalle bekommen oder eher Elemente??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Do 25.10.2007 | | Autor: | Tobi86 |
es ist nicht [mm] \bruch{1}{3} [/mm] sondern 3,war ein kleiner tippfehler von mir! aber ich verstehe nicht ganz,wieso [mm] x\le3 [/mm] und nicht [mm] x\ge [/mm] 3 sein sollte!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:09 Fr 26.10.2007 | | Autor: | koepper |
Guten Morgen,
$9 - 3x [mm] \geq [/mm] 0$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 9 [mm] \geq [/mm] 3x [mm] \qquad [/mm] |:3$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 3 [mm] \geq [/mm] x$,
also $x [mm] \leq [/mm] 3$
OK?
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Do 25.10.2007 | | Autor: | Tobi86 |
wieso bekommst du hier [mm] x\ge [/mm] 2 heraus?? ich bekomm da x<-14 heraus!!:(
außerdem,wieso wird statt [mm] x\ge [/mm] 2,x>8 hingeschrieben?? das versteh ich nicht!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 Fr 26.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo zusammen,
> wieso bekommst du hier [mm]x\ge[/mm] 2 heraus?? ich bekomm da x<-14
> heraus!!:(
richtig ist $x [mm] \geq [/mm] -14$. Marius hat sich verrechnet.
> außerdem,wieso wird statt [mm]x\ge[/mm] 2,x>8 hingeschrieben?? das
> versteh ich nicht!
Aus $x [mm] \geq [/mm] 2 [mm] \wedge [/mm] x > 8$ folgt $x > 8$, denn alle Zahlen, die größer als 8 sind, sind auch größer gleich 2.
Gruß
Will
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> Also ist die Lösungsmenge:
>
> [mm]\IL=(-\infty;\bruch{2}{3}]\cup[8;\infty)[/mm]
Ich hab da mal eine Frage..
müsste nicht auch in der Lösungsmenge berücksichtigt werden, das die Stelle x = -3 nicht definiert ist? und somit auch noch ein dritter Fall unterschieden werden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:29 Fr 26.10.2007 | | Autor: | koepper |
> > Also ist die Lösungsmenge:
> >
> > [mm]\IL=(-\infty;\bruch{2}{3}]\cup[8;\infty)[/mm]
>
>
> Ich hab da mal eine Frage..
> müsste nicht auch in der Lösungsmenge berücksichtigt
> werden, das die Stelle x = -3 nicht definiert ist? und
> somit auch noch ein dritter Fall unterschieden werden?
Du hast vollkommen recht!
Ich stelle gleich eine korrekte Lösung in den Thread.
Gruß
Will
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 10:03 Fr 26.10.2007 | | Autor: | koepper |
Guten Morgen,
$ [mm] \frac{4}{| x - 8 |} \geq \frac{2}{x + 3}$
[/mm]
Wir unterscheiden 3 Fälle:
1. Es sei x > 8:
$ [mm] \bruch{4}{|x-8|}\ge\bruch{2}{x+3}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 4 * (x + 3) [mm] \geq [/mm] 2 * (x - 8)$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 2 * x [mm] \geq [/mm] - 28$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] x [mm] \geq [/mm] - 14$
Also $x [mm] \geq [/mm] -14 [mm] \wedge [/mm] x > 8 [mm] \Leftrightarrow [/mm] x > 8.$
2. Es sei -3 < x < 8
$ [mm] \bruch{4}{|x-8|}\ge\bruch{2}{x+3}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 4 * (x + 3) [mm] \geq [/mm] 2 * [-(x - 8)]$ ---> Da x - 8 < 0, muß beim Auflösen der Betragstriche negiert werden.
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 4 * x + 12 [mm] \geq [/mm] 16 - 2x$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 6 * x [mm] \geq [/mm] 4$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] x [mm] \geq \frac{2}{3}$
[/mm]
Also $x [mm] \geq \frac{2}{3} \wedge [/mm] -3 < x < 8 [mm] \Leftrightarrow \frac{2}{3} \leq [/mm] x < 8.$
3. Es sei x < -3
$ [mm] \frac{4}{| x - 8 |} \geq \frac{2}{x + 3}$ [/mm]
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 4 * (x + 3) [mm] \leq [/mm] 2 * [-(x - 8)]$ ---> Wegen x + 3 < 0 muß hier zusätzlich das Ungleichzeichen geändert werden.
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 4 * x + 12 [mm] \leq [/mm] 16 - 2x$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 6 * x [mm] \leq [/mm] 4$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] x [mm] \leq \frac{2}{3}$
[/mm]
Also $x [mm] \leq \frac{2}{3} \wedge [/mm] x < -3 [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \leq [/mm] -3.$
Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist damit $L = [mm] ]-\infty [/mm] ; -3[ [mm] \; \cup \; [\frac{2}{3} [/mm] ; 8[ [mm] \; \cup \; [/mm] ]8 ; [mm] \infty[$ [/mm]
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Aufpassen: $x \ [mm] \le [/mm] \ 3$ oder $x \ > \ 3$ .
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
