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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:25 Fr 17.10.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | (a) Gesucht: Beispiel eines kommutativen Ringes R und zweier Polynome f(x), g(x) [mm] \in [/mm] R[x] \ [mm] \{0\}, [/mm] so dass f(x) [mm] \cdot [/mm] g(x) [mm] \not= [/mm] 0 und deg(f(x) g(x)) < deg f(x) + deg g(x).
(b) Gesucht: Beispiel eines kommutativen Ringes R und zweier Polynome f(x), g(x) [mm] \in [/mm] R[x] \ [mm] \{0\}, [/mm] so dass f(x)g(x) = 0.
(c) Gsucht: Beispiel eines nicht kommutativen Ringes R, zweier Polynome f(x), g(x) [mm] \in [/mm] R[x] \ [mm] \{0\} [/mm] und eines Elements c [mm] \in [/mm] R, so dass f(c) g(c) [mm] \not=(f \cdot [/mm] g)(c) ist.
(Dann ist die EInsetzungsabbildung R[x] [mm] \rightarrow [/mm] R, f(x) [mm] \mapsto [/mm] f(c) kein Ringhomomorphismus) |
Hallo,
vielleicht sollte ich diese Aufgabe zuerst verstehen.
Bei der (a) hab ich überlegt R = [mm] \mathbb{R}[x] [/mm] zu nehmen, dann gilt z.B. für f(x) = x und g(x) = [mm] x^2: [/mm] f(x) g(x) [mm] \not= [/mm] 0 und deg(f [mm] \cdot [/mm] g) = 2 < deg(f) + deg(g) = 1+2=3. Und Kommutativität ok.
Wäre das korrekt?
(b) Hier weiß ich nicht, muss ich hier so einen Quotientenkörper bzw Ring nehmen...? Weil sonst können die Polynome ja nicht Null ergeben?
(c) Habt ihr hier einen Tipp? ... das wäre super...
Viele Grüße,
Riley
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Grüße!
> (a) Gesucht: Beispiel eines kommutativen Ringes R und
> zweier Polynome f(x), g(x) [mm]\in[/mm] R[x] \ [mm]\{0\},[/mm] so dass f(x)
> [mm]\cdot[/mm] g(x) [mm]\not=[/mm] 0 und deg(f(x) g(x)) < deg f(x) + deg
> g(x).
>
> Bei der (a) hab ich überlegt R = [mm]\mathbb{R}[x][/mm] zu nehmen,
> dann gilt z.B. für f(x) = x und g(x) = [mm]x^2:[/mm] f(x) g(x) [mm]\not=[/mm]
> 0 und deg(f [mm]\cdot[/mm] g) = 2 < deg(f) + deg(g) = 1+2=3. Und
> Kommutativität ok.
> Wäre das korrekt?
Leider nicht. Denn $f(x) [mm] \cdot [/mm] g(x) = x [mm] \cdot x^2 [/mm] = [mm] x^3$ [/mm] und das hat Grad 3, genau wie die Summe der Grade.
Der Ansatz ist doch der. Angenommen die Polynome sind gegeben durch
$f(x) = [mm] \sum_{i=0}^n a_i x^i$ [/mm] sowie $g(x) = [mm] \sum_{i=0}^m b_ix^i$.
[/mm]
mit [mm] $a_n \not= [/mm] 0$ und [mm] $b_m \not= [/mm] 0$. Dann hat $f$ genau Grad $n$ und $g$ hat Grad $m$.
Im Produkt steht dann der Term [mm] $a_n b_m x^{n+m}$ [/mm] und das bedeutet, dass das Produkt $f [mm] \cdot [/mm] g$ den Grad $n + m$ hat... es sei denn es gilt [mm] $a_n \cdot b_m [/mm] = 0$. In einem Körper ist das unmöglich, also kann [mm] $\IR$ [/mm] als Beispiel nichts taugen. Du brauchst einen Ring mit Nullteilern, also einen, in dem es Elemente gibt, die von 0 verschieden sind und trotzdem als Produkt 0 ergeben.
Probiere mal $R = [mm] \IZ [/mm] / 6 [mm] \IZ$ [/mm] oder so...
> (b) Gesucht: Beispiel eines kommutativen Ringes R und
> zweier Polynome f(x), g(x) [mm]\in[/mm] R[x] \ [mm]\{0\},[/mm] so dass
> f(x)g(x) = 0.
>
> (b) Hier weiß ich nicht, muss ich hier so einen
> Quotientenkörper bzw Ring nehmen...? Weil sonst können die
> Polynome ja nicht Null ergeben?
Hier gilt derselbe Tipp wie bei der a). Wenn der Ring nullteilerfrei ist, hast Du keine Chance. Versuche auch hier mal [mm] $\IZ [/mm] / 6 [mm] \IZ$ [/mm] oder so. Allgemein geht immer [mm] $\IZ [/mm] / m [mm] \IZ$ [/mm] falls $m > 1$ keine Primzahl ist.
> (c) Gsucht: Beispiel eines nicht kommutativen Ringes R,
> zweier Polynome f(x), g(x) [mm]\in[/mm] R[x] \ [mm]\{0\}[/mm] und eines
> Elements c [mm]\in[/mm] R, so dass f(c) g(c) [mm]\not=(f \cdot[/mm] g)(c)
> ist.
> (Dann ist die EInsetzungsabbildung R[x] [mm]\rightarrow[/mm] R,
> f(x) [mm]\mapsto[/mm] f(c) kein Ringhomomorphismus)
>
> (c) Habt ihr hier einen Tipp? ... das wäre super...
Du brauchst zunächst einen Ring, der nicht kommutativ ist. Zum Beispiel $2 [mm] \times [/mm] 2$ Matrizen mit reellen Einträgen. Betrachte dann zwei Matrizen $A$ und $B$, die nicht kommutieren und die Polynome $f(x) = A [mm] \cdot [/mm] x$ und $g(x) = B [mm] \cdot [/mm] x$.
Dann ist doch $(f [mm] \cdot [/mm] g)(x) = [mm] AB\cdot x^2$. [/mm] Also gilt für eine Matrix $C$:
$f(C) [mm] \cdot [/mm] g(C) = AC [mm] \cdot [/mm] BC$ und $(f [mm] \cdot [/mm] g)(C) = [mm] ABC^2$.
[/mm]
Es sollte doch möglich sein, $A, B$ und $C$ so zu wählen, dass dies nicht gleich ist... 
Viel Erfolg!
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Di 21.10.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Mathefreunde,
könnte ich bei der (a) also [mm] \IZ [/mm] / [mm] 6\IZ [/mm] nehmen, d.h. ich hätte f(x)=[2] und g(x)= [3], dann wäre deg f = 1 und deg g = 1.
f(x)g(x)= [2] [mm] \circ [/mm] [3] = [2*3]=[6]=0
Aber was wäre dann deg (fg)? =0?
Ich blick da leider auch noch nicht soo durch...
Wenn uns jemand das mit den Ringen und so ein bissl erklären könnte, wär das supi.
Danke
Lg Kittycat
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Hallo Kittycat,
fast richtig. Zunächst ist bei der Aufgabe a) ein Beispiel für Polynome $f$ und $g$ gesucht, mit $(f [mm] \cdot [/mm] g) [mm] \not=0$ [/mm] und das ist bei Dir ja gerade nicht erfüllt!
Dein Beispiel taugt eher was für Aufgabe b)...
Die zweite Bemerkung: Der Grad eines Polynoms ist definiert als die größte vorkommende Potenz von $x$ (salopp gesprochen).
Formal definiert: Sei $f [mm] \in [/mm] R[X]$ ein Element des Polynomringes mit $f [mm] \not= [/mm] 0$. Schreibe
$f = [mm] \sum_{i=0}^N a_i X^i$
[/mm]
Dann ist der Grad von $f$ folgendermaßen definiert:
[mm] $\deg [/mm] f := [mm] \max \{ n \in \IN : a_n \not= 0 \}$
[/mm]
In Worten: man sucht sich den größten Koeffizienten, der von 0 verschieden ist und nimmt den Index.
Zum Beispiel hat das Polynom [mm] $X^3 [/mm] - 3X + 5$ den Grad 3 und das Polynom $X - [mm] X^2$ [/mm] den Grad 2. Dein Beispielpolynom $f = [3]$ ist konstant, die höchste vorkommende Potenz von $X$ ist also 0 und daher hat $f$ hier den Grad 0.
Das Nullpolynom spielt eine Sonderrolle, denn es hat ja überhaupt keine von 0 verschiedenen Koeffizienten. Man setzt meistens den Grad des Nullpolynoms auf $- [mm] \infty$, [/mm] damit die Gradformeln alle auch für das Nullpolynom gelten. Ich weiß nicht, ob ihr das auch gemacht habt, falls nicht ignorier das einfach und merke Dir, dass der Grad des Nullpolynoms nicht definiert ist.
Ist das etwas klarer? Bei der a) sind also zwei Polynome so gesucht, dass sich zwar die Leitkoeffizienten wegheben (wie im Beispiel mit $[2] [mm] \cdot [/mm] [3] = [0]$ in [mm] $\IZ [/mm] / 6 [mm] \IZ$), [/mm] aber das Produkt trotzdem von 0 verschieden ist. Mit den "unteren" X-Potenzen kann ja noch was geschehen...
Viel Erfolg!
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Mi 22.10.2008 | | Autor: | kittycat |
Vielen, vielen Dank für deine Erklärung, Lars!
Ich sehs ein, mein Beispiel war falsch gewählt ... habs dann im Nachhinein auch gemerkt.
Nur leider fällt mir dazu kein Beispiel ein, was die Voraussetzungen und Bedingungen von (a) oder (b) erfüllt :-(
Lg Kittycat
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:49 Do 23.10.2008 | | Autor: | Gnometech |
Hallo,
Dein Beispiel ist doch exakt auf Teil b) zugeschnitten! Da ist nichts mehr zu tun.
Für Teil a sind zwei Polynome gesucht, die beide nicht 0 sind und deren Produkt auch von 0 verschieden ist, aber kleineren Grad hat als die Summe der Grade.
Dann nimm doch z.B. $R = [mm] \IZ [/mm] / 6 [mm] \IZ$ [/mm] und $f = [2] [mm] \cdot [/mm] X + 1$, sowie $g = [3] [mm] \cdot [/mm] X$. Dann haben $f$ und $g$ beide Grad 1. Das Produkt ist:
$f [mm] \cdot [/mm] g = ([2] [mm] \cdot [/mm] X + 1) [mm] \cdot [/mm] [3] [mm] \cdot [/mm] X = [6] [mm] \cdot X^2 [/mm] + [3] [mm] \cdot [/mm] X = [3] [mm] \cdot [/mm] X$
und das ist nicht 0 und hat auch Grad 1, also kleineren Grad als die Summe der Grade von $f$ und $g$.
Alles klar?
Gruß,
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:16 Sa 25.10.2008 | | Autor: | kittycat |
Vielen, vielen Dank, Lars, für deine Hilfe!!!!
Zu blöd, dass man auf so ein einfaches Beispiel nicht selber kommt, obwohl es einem direkt vor der Nase liegt :-(
DANKE ... jetzt hab ich es verstanden!
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