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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:50 Sa 01.09.2012 | | Autor: | Kuriger |
| Aufgabe | Regelmässig gibt die Departementsverteilung im Bundesrat zu reden. Nehmen wir an, alle n Bundesräte sind wiedergewählt worden und bestimmen jetzt eine neue Departementsverteilung
a) Wieviele mögliche Departementsverteilungen gibt es insgesamt?
b) Sei [mm] A_i [/mm] die Menge aller Departementsverteilungen, bei denen Bundesrat i sein Departement behält, wie gross ist [mm] |A_i|?
[/mm]
c) Was bedeutet [mm] A_i \cap A_j [/mm] und [mm] A_i \cap A_j \cap A_k, [/mm] wobei i, j und k alle verschieden sind. Wieviele Elemente enthalten [mm] A_i \cap A_j [/mm] und [mm] A_i \cap A_j \cap A_k?
[/mm]
d) zeichnen Sie das Ereignis " Bundesräte a und 2 behalten ihr Departement, Bundesrat 5 wechselt.
e) zeichnen Sie das Ereignis A = [mm] \{Mindestens ein Bundesrat behält das Departement\}
[/mm]
f) bestimmen Sie P(A) für den Fall n = 3
g) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei zufälliger Departementsverteilung kein Bundesrat sein altes Departement weiterführt? |
Hallo
Eine Aufgabe die ich leider überhaupt nicht verstehe.
a) n: Total Bundesräte, also n! (n = 7)
b)Ein Bundesrat ist fix, also machen die restlichen 6 die Verteilung unter sich aus, allgemein geschrieben [mm] |A_i| [/mm] = (n-1)!
Was das Betragszeichen soll, ist mir schleierhaft
c) Was ist [mm] A_j, [/mm] statt i behält hier Bundesrat j sein Departement?
[mm] A_i \cap A_j, [/mm] Bundesrat i und j behalten ihre Departemente, also (n-2)!
[mm] A_i \cap A_j \cap A_k: [/mm] Und hier sinds dann 3? (n-3)!
d) ? Kein clue...
e)
Was ist da verlangt?
f)
Also es sind 3 Bundesräte und 3 Departemente, oder wie?
Keiner Behält sein Departement. Departemente A, B und C
Bundesrat 1 der Department A innehatte muss nun Departement B oder C nehmen. Bundesrat B, der Departement B innehatte, muss nun A oder B nehmen
......
Aber wieviele Möglichkeiten gibt es nun?
Die möglichen Departementszuordnungen beträgt ja 3! = 6
[mm] P(\overline{A}) [/mm] = ...
P(A) = 1 - [mm] P(\overline{A}) [/mm] = ...
g) ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 03.09.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo,
die Aufgabe und etwaige Lösungsversuche sind leichter verständlich, wenn man die Funktion des ![[]](/images/popup.gif) schweizerischen Bundesrats kennt.
Ganz knapp: auch jedes der 7 Mitglied heißt Bundesrat. Diese sieben verteilen unter sich die 7 Departemente.
Grüße
reverend
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Hallo Kuriger,
diese Aufgabe wird man in Hessen normalerweise nicht stellen. 
Im übrigen ist sie inkonsistent formuliert.
> Regelmässig gibt die Departementsverteilung im Bundesrat
> zu reden. Nehmen wir an, alle n Bundesräte sind
> wiedergewählt worden und bestimmen jetzt eine neue
> Departementsverteilung
Achtung: hier wird zwar vom Prinzip des schweizerischen Bundesrats ausgegangen, aber es sind explizit n Bundesräte genannt.
> a) Wieviele mögliche Departementsverteilungen gibt es
> insgesamt?
> b) Sei [mm]A_i[/mm] die Menge aller Departementsverteilungen, bei
> denen Bundesrat i sein Departement behält, wie gross ist
> [mm]|A_i|?[/mm]
> c) Was bedeutet [mm]A_i \cap A_j[/mm] und [mm]A_i \cap A_j \cap A_k,[/mm]
> wobei i, j und k alle verschieden sind. Wieviele Elemente
> enthalten [mm]A_i \cap A_j[/mm] und [mm]A_i \cap A_j \cap A_k?[/mm]
> d)
> zeichnen Sie das Ereignis " Bundesräte a und 2 behalten
> ihr Departement, Bundesrat 5 wechselt.
>
> e) zeichnen Sie das Ereignis A = [mm]\{Mindestens ein Bundesrat behält das Departement\}[/mm]
>
> f) bestimmen Sie P(A) für den Fall n = 3
>
> g) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei
> zufälliger Departementsverteilung kein Bundesrat sein
> altes Departement weiterführt?
>
>
>
> Hallo
>
> Eine Aufgabe die ich leider überhaupt nicht verstehe.
>
> a) n: Total Bundesräte, also n! (n = 7)
Der Hinweis (n=7) ist ja im politischen System richtig, die Aufgabe setzt das aber nicht voraus. n! ist die richtige Lösung.
> b)Ein Bundesrat ist fix, also machen die restlichen 6 die
> Verteilung unter sich aus, allgemein geschrieben [mm]|A_i|[/mm] =
> (n-1)!
> Was das Betragszeichen soll, ist mir schleierhaft
[mm] A_i [/mm] ist doch per definitionem eine Menge. Gesucht ist ihre Mächtigkeit, daher die Betragsstriche. Ansonsten richtig.
> c) Was ist [mm]A_j,[/mm] statt i behält hier Bundesrat j sein
> Departement?
Genau.
> [mm]A_i \cap A_j,[/mm] Bundesrat i und j behalten ihre Departemente,
> also (n-2)! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]A_i \cap A_j \cap A_k:[/mm] Und hier sinds dann 3? (n-3)!
>
> d) ? Kein clue...
>
> e)
> Was ist da verlangt?
Wie habt Ihr denn bisher solche Ereignisse gezeichnet? In einem Venn-Diagramm?
> f)
> Also es sind 3 Bundesräte und 3 Departemente, oder wie?
Ja, so verstehe ich die Aufgabe auch.
> Keiner Behält sein Departement. Departemente A, B und C
> Bundesrat 1 der Department A innehatte muss nun
> Departement B oder C nehmen. Bundesrat B, der Departement B
> innehatte, muss nun A oder B nehmen
> ......
> Aber wieviele Möglichkeiten gibt es nun?
> Die möglichen Departementszuordnungen beträgt ja 3! = 6
>
> [mm]P(\overline{A})[/mm] = ...
>
> P(A) = 1 - [mm]P(\overline{A})[/mm] = ...
Naja, es wäre hilfreich, wenn Du entweder $P(A)$ oder [mm] P(\overline{A}) [/mm] bestimmen könntest. Bei n=e geht das doch ganz leicht. Überleg mal.
> g) ?
Hier ist nicht klar, ob diese Frage auch nur für n=3 gelöst werden soll oder ganz allgemein für n. Ich nehme letzteres an, auch wenn das schwieriger ist.
Wie würdest Du vorgehen? Mach mal einen Vorschlag.
Gibt es ein gut zu berechnendes Gegenereignis? Oder kann man vielleicht rekursiv vorgehen und von da aus nach einer "Gesamtformel" suchen?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Mo 03.09.2012 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Das mit dem Gegenereignis ist wohl nicht sinnvoll, weil das Gegenereignis (Bei 7 Bundesräte) wäre ja 1, 2, 3, 4, 5, 6.....Bundesräte führen ihr Departement weiter.
Mal mit n = 3
Total gibts ja wie berechnet 3! = 6 Departementsverteilungen.
Nun die Anzahl Verteilungen bei denen jeder Bundesrat sein Departement wechselt
Möglichkeit 1
Bundesrat A nimmt das Departement von B
Bundesrat B nimmt das Departement von C
Bundesrat C nimmt das Departement von A
Möglichkeit 2
Bundesrat A nimmt das Departement von C
Bundesrat B nimmt das Departement von A
Bundesrat C nimmt das Departement von B
Mehr gibts nicht?
Also wäre die Wahrscheinlichkeit, dass kein Bundesrat sein Departement weiterführt [mm] \bruch{2}{6}
[/mm]
Stimmt das ?
Und eben in allgemeiner Schreibweise...
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Hallo nochmal,
> Das mit dem Gegenereignis ist wohl nicht sinnvoll, weil das
> Gegenereignis (Bei 7 Bundesräte) wäre ja 1, 2, 3, 4, 5,
> 6.....Bundesräte führen ihr Departement weiter.
Nur 1 bis 5. Wenn 6 Bundesräte ihre Departemente weiterführen, dann der siebte auch. Diesen Fall (also alle bleiben) muss man aber natürlich im Gegenereignis trotzdem mit berücksichtigen.
Angefangen bei 3 Bundesräten könnte man allerdings eine Rekursionsformel aufstellen, nur keine sehr handhabbare. Siehe unten.
> Mal mit n = 3
> Total gibts ja wie berechnet 3! = 6
> Departementsverteilungen.
>
> Nun die Anzahl Verteilungen bei denen jeder Bundesrat sein
> Departement wechselt
>
> Möglichkeit 1
> Bundesrat A nimmt das Departement von B
> Bundesrat B nimmt das Departement von C
> Bundesrat C nimmt das Departement von A
>
>
> Möglichkeit 2
> Bundesrat A nimmt das Departement von C
> Bundesrat B nimmt das Departement von A
> Bundesrat C nimmt das Departement von B
>
> Mehr gibts nicht?
Nein, das sind alle
> Also wäre die Wahrscheinlichkeit, dass kein Bundesrat
> sein Departement weiterführt [mm]\bruch{2}{6}[/mm]
>
> Stimmt das ?
Ich würde noch kürzen, aber ansonsten: korrekt.
> Und eben in allgemeiner Schreibweise...
Definieren wir doch mal eine Folge [mm] a_n, [/mm] die angibt, wieviele Möglichkeiten es gibt, dass bei n Bundesräten keiner sein Departement weiterführt.
Offensichtlich sind [mm] a_1=0 [/mm] und [mm] a_2=1
[/mm]
Ab da gilt: [mm] a_n=(n-1)(a_{n-1}+a_{n-2})
[/mm]
Begründung: ein n-ter Bundesrat tritt hinzu. Wenn die anderen (n-1) B. die ersten (n-1) D. verteilt haben und keiner sein bisheriges hat, dann genügt es, wenn n mit einem von den andern tauscht. Macht also [mm] (n-1)a_{n-1} [/mm] Möglichkeiten.
Außerdem gibt es noch die Möglichkeit, dass einer von den andern (n-1) sein Departement behält, die anderen (n-2) aber alle nicht. In diesem Fall tauscht Nummer n mit demjenigen, der sein D. behalten hat. Macht weitere [mm] (n-1)a_{n-2} [/mm] Möglichkeiten.
Die ersten [mm] a_n [/mm] sind:
[mm] a_1=0
[/mm]
[mm] a_2=1
[/mm]
[mm] a_3=2*(1+0)=2
[/mm]
[mm] a_4=3*(2+1)=9
[/mm]
[mm] a_5=4*(9+2)=44
[/mm]
[mm] a_6=5*(44+9)=265
[/mm]
[mm] a_7=6*(265+44)=1854
[/mm]
[mm] a_8=7*(1854+265)=14833
[/mm]
[mm] \cdots
[/mm]
Interessant ist nun, dass für [mm] n\to\infty [/mm] der Quotient [mm] \bruch{a_n}{n!} [/mm] gegen [mm] \bruch{1}{e} [/mm] strebt.
Das nachzuweisen sowie die Erstellung einer expliziten Formel [mm] a_n=f(n) [/mm] überlasse ich mal Dir.
Grüße
reverend
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