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| Aufgabe | Gegeben ist
[mm] \[
[/mm]
[mm] \begin{array}{c|cccc} c_1 & a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1s}\\ c_2 & a_{21} & a_{22}& \dots & a_{2s}\\ \vdots & \vdots & \vdots& \ddots& \vdots\\ c_s & a_{s1} & a_{s2}& \dots & a_{ss} \\ \hline & b_1 & b_2 & \dots & b_s\\ & b_1^* & b_2^* & \dots & b_s^*\\ \end{array} [/mm]
[mm] \]
[/mm]
Am Beispiel:
[mm] \[
[/mm]
[mm] \begin{array}{c|cc} 0\\ 1& 1 \\ \hline & 1/2& 1/2\\ & 1 & 0 \end{array} [/mm]
[mm] \]
[/mm]
1. Wie nennt man dieses Verfahren?
2.Geben Sie die Ordnung an
3.Formulieren Sie es als Iterationsvroschrift
4. Formulieren Sie es als Anfangswertproblem
5. Führen Sie einen Schritt durch |
Hallo Zusammen!
In der letzten Numerik-Klausur kam ein Butcher-Schema der obigen Form dran. Leider habe ich die Klausur nicht bestanden. Da diese Art von Butcher-Schema nicht in der Vorlesung dran kam, bin ich mir nun unsicher, ob es ein eingebettetes Verfahren ist und wie ich das im obigen Beispiel lösen muss. Kann mir jemand bei den Klausurfragen helfen ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Mi 08.06.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hi,
![[]](/images/popup.gif) Runge-Kutta-Verfahren
> 1. Wie nennt man dieses Verfahren?
Runge-Kutta-Verfahren. Man sieht, dass es explizit ist, da die Matrix eine untere Dreiecksmatrix ist.
> 2.Geben Sie die Ordnung an
(!Die Ordnung der Konvergenz ist nicht die gleiche wie die Dimension der Matrix! Mit Zunehmender Dimension nimmt die Konvergenzordnung immer weniger, nicht-linear zu.)
Ich sage deshalb hier nicht mehr dazu. Auf wikipedia steht noch: "Ein explizites s-stufiges Runge-Kutta-Verfahren hat höchstens Konvergenzordnung s, ein implizites dagegen bis zu 2s"
> 3.Formulieren Sie es als Iterationsvroschrift
[mm] y_{n+1} [/mm] = [mm] y_{n} [/mm] + [mm] h*\summe_{j=1}^{s}b_{j}*k_{j},
[/mm]
mit [mm] k_{j} [/mm] = [mm] f[t_{n} [/mm] + [mm] h*c_{j},y_{n} [/mm] + [mm] h*\summe_{l=1}^{s}*a_{jl}*k_{l}], [/mm] j = 1,...,s
Man sieht, dass die allgemeine Iterationsvorschrift implizit ist. Aber für eine untere Diagonalmatrix mit [mm] a_{jl} [/mm] = 0 für l [mm] \ge [/mm] j ist es explizit und leicht ausführbar.
Du hast nun noch eine zweite Reihe b's. Mit diesen kann man das gleiche machen, und somit den Fehler für die Iteration abschätzen. Wenn du Matlab kennst: z.B. der "ode45-Solver" ist ein Runge-Kutta-Verfahren 5. Ordnung, welches mit einem 4. Ordnung den Fehler abschätzt.
> 4. Formulieren Sie es als Anfangswertproblem
Naja hald mit Anfangswerten zum Anfangen......
> 5. Führen Sie einen Schritt durch
...
Gruss
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