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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - C^-1 und D^-1 kommutieren
C^-1 und D^-1 kommutieren < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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C^-1 und D^-1 kommutieren: zeigeC^-1 und D^-1 kommutieren
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 Do 30.08.2007
Autor: fuchsone

Aufgabe
Es sei A und B zwei nxn Matrizen, die kommutieren und In die n dimensionale Einheitsmartix. Man zeige, dass falls C=In - A und D=In - B invertierbar sind, auch C^-1 und D^-1 kommutieren.

Kommutieren bedeutet ja im Fall von A und B :

AB=BA  

Man bezeichnet das Inverse zu C und D  mit C^-1 , D^-1

Wenn A=B dann ist ja AB = BA dann wäre ja auch wenn In-A=In-B dann ist C=D und C^-1 =D^-1 oder?
wie kann ich jetzt weiter vorgehen um zu zeigen dass falls C=In - A und
D=In - B invertierbar sind, auch C^-1 und D^-1 kommutieren?

ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen da ich keinen richtigen Ansatz finde
danke im Vorraus




Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
C^-1 und D^-1 kommutieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:13 Do 30.08.2007
Autor: Leopold_Gast

Das mit dem [mm]A=B[/mm] laß mal lieber sein! Davon ist nirgendwo die Rede - und es ist zur Lösung im übrigen völlig überflüssig!

[mm]C^{-1} D^{-1} = D^{-1} C^{-1}[/mm] ist äquivalent zu [mm]DC = CD[/mm] (beachte dazu die Regel [mm]\left( XY \right)^{-1} = Y^{-1} X^{-1}[/mm]). Und [mm]DC = CD[/mm] läßt sich unmittelbar durch Einsetzen und Ausrechnen nachweisen.

Bezug
                
Bezug
C^-1 und D^-1 kommutieren: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:45 Do 30.08.2007
Autor: fuchsone

Aufgabe
C T D = [(In - A) (In-B)] T (In-A) (In-B)
= (In-A)T (In-B)T (In-A) (In-B)
=(In-A) (In-B) (In-A) (In-B)
=In        
Wenn zwei invertierbare Matrizen C un D kommutieren so kommutieren auch ihre inverse A^-1B^-1 = (BA)^-1 =(AB)^-1 =B^-1A^-1
                            
                           C^-1D^-1 = (DC)^-1 =(CD)^-1 =D^-1C^-1

   (In-A) (In-B) - (In-A) (In-B)
= [mm] In-A^2 [/mm] - [mm] In-B^2 [/mm] = 0                

somit kommutieren In-A und In-B und somit auch C^-1 und D^-1
                              C^-1D^-1=D^-1C^-1

Danke für deine hilfe
ich bin auf dieses Ergebniss gekommen weis aber nicht ob es richtig ist
und ob dies ausreicht
kann jemand meine Lösung bestätigen oder ist mir ein Fehler unterlaufen?


Bezug
                        
Bezug
C^-1 und D^-1 kommutieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:29 Do 30.08.2007
Autor: angela.h.b.


> kann jemand meine Lösung bestätigen oder ist mir ein Fehler
> unterlaufen?
>  

Hallo,

nein, das ist nicht richtig, und manches ist auch etwas wirr.

LeopoldGast hat Dir ja schon gesagt, daß Du fast fertig bist, wenn es Dir gelingt zu zeigen, daß CD=DC.

Daran mußt Du arbeiten.

CD=DC ist ja äquivalent zu  Nullmatrix=CD-DC.

Also rechne doch mal CD-DC aus und schau nach, ob Null herauskommt.

[mm] CD-DC=(I_n-A)(I_n-B) [/mm] - [mm] (I_n-B)(I_n-A) [/mm] =...     [Ausmultiplizieren, und beachten, daß Du die Reihenfolge der Faktoren nicht einfach vertauschen darfst.]

Als nächstes verwendest Du in der Gleichung, die Du nun dort stehen hast, daß nach Voraussetzung AB=BA. Damit bist Du dann nah am Ziel.


Mal angenommen, Du hättest nun dastehen, daß CD-DC=0 gilt.

Daraus folgt CD=DC.

Um auf die zu beweisende Aussage zu kommen, multiplizierst Du nun auf beiden Seiten rechts und links [mm] C^{-1} [/mm] heran.

Anschließend dasselbe mit [mm] D^{-1}. [/mm]

Gruß v. Angela




Bezug
                                
Bezug
C^-1 und D^-1 kommutieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:08 Do 30.08.2007
Autor: rambazambarainer

Hallo!

Ich sitze gerade an der selben Aufgabe.

> Daraus folgt CD=DC.

soweit war ich auch schon.
  

> Um auf die zu beweisende Aussage zu kommen, multiplizierst
> Du nun auf beiden Seiten rechts und links [mm]C^{-1}[/mm] heran.
>  
> Anschließend dasselbe mit [mm]D^{-1}.[/mm]
>  
> Gruß v. Angela

Meine Frage ist nun: Wenn ich das so machen würde, würde dann da nicht 0=0 rauskommen, da [mm]A^{-1} * A [/mm]=E?

Gruß Tim

Bezug
                                        
Bezug
C^-1 und D^-1 kommutieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:26 Do 30.08.2007
Autor: angela.h.b.

Hallo,

Du hast also bereits CD=DC.

Nach Voraussetzung sind C und D invertierbar. Es ist also sinnvoll, wenn wir [mm] C^{-1} [/mm] und [mm] D^{-1} [/mm] schreiben.

Jetzt kommt die Durchführung dessen, was ich vorhin beschrieb: rechts und links [mm] C^{-1} [/mm] heranmultiplizieren. Das ergibt
[mm] C^{-1}CDC^{-1}=C^{-1}DCC^{-1} [/mm]

[mm] ==>DC^{-1}=C^{-1}D [/mm]

Nun von beiden Seiten [mm] D^{-1}: [/mm]

[mm] D^{-1}DC^{-1}D^{-1}=D^{-1}C^{-1}DD^{-1} [/mm]  ==> ...    !!!

Gruß v. Angela

Bezug
                                                
Bezug
C^-1 und D^-1 kommutieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:34 Do 30.08.2007
Autor: rambazambarainer

AAAHHH!!!

Jetzt verstehe ich was du mit LINKS und RECHTS meinst :)

So wirds natürlich klar.

Dankeschön für die schnelle Anwort

Bezug
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