C_0(T) abgeschlossen in C^b(T) < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:55 So 17.04.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo liebe Helfenden, lieber Matheraum! 
Ich habe gerade mal (wieder  ) angefangen, mich etwas mit Funktionalanalysis zu beschäftigen, und komme gerade nicht auf eine passende Argumentation.
Und zwar steht hier in meinem Buch zur Funktionalanalysis (von mir zusammengefaßt):
Ist $T$ ein topologischer, lokalkompakter Raum, [mm] $C^b(T)=\left\{f: T \to \IK;\;f \mbox{ beschränkt und stetig}\right\}$ [/mm] und [mm]C_0(T)=\left\{f:T \to \IK;\;f \mbox{ ist stetig und '' im Unendlichen verschwindend '' \right\}[/mm] [mm] ($\IK \in \{\IR,\;\IC\}$), [/mm] wobei damit gemeint sei, dass für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gilt:
[mm] $F_{\varepsilon}:=\left\{t \in T:\;|f(t)|\ge \varepsilon \right\}$ [/mm] ist kompakt für jedes beliebige, feste $f [mm] \in C_0(T)$ [/mm] (sofern ich das in dem Buch richtig verstanden habe, was ich jetzt mal hoffe !).
So, und nun steht da, dass man leicht einsehen kann, dass [mm] $C_0(T)$ [/mm] in [mm] $C^b(T)$ [/mm] abgeschlossen ist (wobei die Räume jeweils mit der Supremumsnorm versehen seien). Nun, okay, dann hat man ja zunächst auch die Aussage, dass [mm] $C_0(T) \subseteq C^b(T)$ [/mm] gilt. Hm, und irgendwie habe ich den Begriff der Lokalkompaktheit gerade nicht so inne, bzw. mir fehlen irgendwelche Aussagen dazu, denn ich weiß jetzt gerade nicht, warum eine stetige Funktion auf einem lokalkompakten Raum insbesondere beschränkt ist. Vielleicht kann mir da schon mal jemand einen kleinen Tipp geben, vielleicht fällts mir mithilfe kleiner Stichwörter ja wieder ein !
Aber das eigentliche Problem, was mich an dieser Aufgabe beschäftigt, ist eher das Folgende:
Wenn ich mir nun (ich nehme einfach mal [mm] $C_0(T) \subseteq C^b(T)$ [/mm] an ) eine konvergente Funktionenfolge [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$ [/mm] in [mm] $C_0(T)$ [/mm] vorgebe mit [mm] $\lim_{n \to \infty} f_n=f \in C^b(T)$ [/mm] (d.h. ja dann: [mm]||f_n-f||_{\infty} \stackrel{n \to \infty}{\to}0[/mm] mit einem $f [mm] \in C^b(T)$), [/mm] wieso gilt denn dann, dass für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ die Menge [mm] $K_{\varepsilon}:=\left\{t \in T:|f(t)| \ge \varepsilon \right\}$ [/mm] kompakt ist?
Ich hatte mir bisher überlegt:
Ist [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gegeben, so gilt wegen der Dreiecksungleichung für jedes $t [mm] \in [/mm] T$, $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm] $|f(t)|=|f(t)-f_n(t)+f_n(t)| \ge |\;|f(t)-f_n(t)|-|f_n(t)|\;|$.
[/mm]
So, hm, bringt mich das jetzt weiter; bzw.: wie bringt mich das jetzt weiter? Irgendwie stehe ich gerade total auf dem Schlauch. Vielleicht habe ich da aber auch etwas total falsch verstanden, dann wäre es nett, wenn sich das jemand mal anguckt und mich gerade von meiner Begriffsstutzigkeit befreit ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") ! Vielleicht sehe ich auch den Wald gerade vor lauter Bäumen nicht (mehr) ![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]") !
Viele Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:34 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Astrid |
Lieber Marcel,
vielleicht kann ich dir bei deiner ersten Frage helfen:
> Und zwar steht hier in meinem Buch zur Funktionalanalysis
> (von mir zusammengefaßt):
> Ist [mm]T[/mm] ein topologischer, lokalkompakter Raum,
> [mm]C^b(T)=\left\{f: T \to \IK;\;f \mbox{ beschränkt und stetig}\right\}[/mm]
> und [mm]C_0(T)=\left\{f:T \to \IK;\;f \mbox{ ist stetig und '' im Unendlichen verschwindend '' \right\}[/mm]
> ([mm]\IK \in \{\IR,\;\IC\}[/mm]), wobei damit gemeint sei, dass für
> alle [mm]\varepsilon > 0[/mm] gilt:
> [mm]F_{\varepsilon}:=\left\{t \in T:\;|f(t)|\ge \varepsilon \right\}[/mm]
> ist kompakt für jedes beliebige, feste [mm]f \in C_0(T)[/mm] (sofern
> ich das in dem Buch richtig verstanden habe, was ich jetzt
> mal hoffe !).
> So, und nun steht da, dass man leicht einsehen kann, dass
> [mm]C_0(T)[/mm] in [mm]C^b(T)[/mm] abgeschlossen ist (wobei die Räume jeweils
> mit der Supremumsnorm versehen seien). Nun, okay, dann hat
> man ja zunächst auch die Aussage, dass [mm]C_0(T) \subseteq C^b(T)[/mm]
> gilt. Hm, und irgendwie habe ich den Begriff der
> Lokalkompaktheit gerade nicht so inne, bzw. mir fehlen
> irgendwelche Aussagen dazu, denn ich weiß jetzt gerade
> nicht, warum eine stetige Funktion auf einem lokalkompakten
> Raum insbesondere beschränkt ist. Vielleicht kann mir da
> schon mal jemand einen kleinen Tipp geben, vielleicht
> fällts mir mithilfe kleiner Stichwörter ja wieder ein !
Du weißt nach Definition, dass für festes [mm] $\epsilon$ [/mm] und [mm]f \in C_0(T)[/mm] gilt: [mm]F_{\epsilon}[/mm] ist kompakt. Da $f$ stetig, folgt [mm]f(F_{\epsilon})[/mm] ist kompakt in [mm] \IR [/mm] bzw. [mm] \IC [/mm] also insbesondere abgeschlossen und beschränkt! Weiter ist [mm]F(T \backslash F_{\epsilon})[/mm] durch [mm] $\epsilon$ [/mm] beschränkt. Also ist [mm]C_0(T) \subseteq C^b(T)[/mm]. Ich hoffe mal, die Argumentation stimmt so...
In den zweiten (eigentlichen ) Teil denke ich mich auch gern noch rein, aber eher später... Muss jetzt weg in die Uni!
Viele Grüße
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:24 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Marcel |
Liebe Astrid!
> Lieber Marcel,
>
> vielleicht kann ich dir bei deiner ersten Frage helfen:
>
> > Und zwar steht hier in meinem Buch zur Funktionalanalysis
> > (von mir zusammengefaßt):
> > Ist [mm]T[/mm] ein topologischer, lokalkompakter Raum,
> > [mm]C^b(T)=\left\{f: T \to \IK;\;f \mbox{ beschränkt und stetig}\right\}[/mm]
> > und [mm]C_0(T)=\left\{f:T \to \IK;\;f \mbox{ ist stetig und '' im Unendlichen verschwindend '' \right\}[/mm]
> > ([mm]\IK \in \{\IR,\;\IC\}[/mm]), wobei damit gemeint sei, dass für
> > alle [mm]\varepsilon > 0[/mm] gilt:
> > [mm]F_{\varepsilon}:=\left\{t \in T:\;|f(t)|\ge \varepsilon \right\}[/mm]
> > ist kompakt für jedes beliebige, feste [mm]f \in C_0(T)[/mm] (sofern
> > ich das in dem Buch richtig verstanden habe, was ich jetzt
> > mal hoffe !).
> > So, und nun steht da, dass man leicht einsehen kann,
> dass
> > [mm]C_0(T)[/mm] in [mm]C^b(T)[/mm] abgeschlossen ist (wobei die Räume jeweils
> > mit der Supremumsnorm versehen seien). Nun, okay, dann hat
> > man ja zunächst auch die Aussage, dass [mm]C_0(T) \subseteq C^b(T)[/mm]
> > gilt. Hm, und irgendwie habe ich den Begriff der
> > Lokalkompaktheit gerade nicht so inne, bzw. mir fehlen
> > irgendwelche Aussagen dazu, denn ich weiß jetzt gerade
> > nicht, warum eine stetige Funktion auf einem lokalkompakten
> > Raum insbesondere beschränkt ist. Vielleicht kann mir da
> > schon mal jemand einen kleinen Tipp geben, vielleicht
> > fällts mir mithilfe kleiner Stichwörter ja wieder ein !
>
> Du weißt nach Definition, dass für festes [mm]\epsilon[/mm] und [mm]f \in C_0(T)[/mm]
> gilt: [mm]F_{\epsilon}[/mm] ist kompakt. Da [mm]f[/mm] stetig, folgt
> [mm]f(F_{\epsilon})[/mm] ist kompakt in [mm]\IR[/mm] bzw. [mm]\IC[/mm] also
> insbesondere abgeschlossen und beschränkt! Weiter ist [mm]F(T \backslash F_{\epsilon})[/mm]
> durch [mm]\epsilon[/mm] beschränkt. Also ist [mm]C_0(T) \subseteq C^b(T)[/mm].
> Ich hoffe mal, die Argumentation stimmt so...
Oh ja, zumindest sehe ich keinen Argumentationsfehler . War ja eigentlich gar nicht so schwer, ich hatte wohl ne Denkblockade ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") ; wird wohl Zeit, dass bei uns die Uni auch mal wieder anfängt . So, dann lese ich mir jetzt gleich mal Stefan's Antwort auch noch durch. Und vielen Dank für deine Hilfe, Astrid !
Liebe Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:30 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Marcel!
Mist, war komplett falsch. Ich lösche es mal lieber und denke später noch einmal darüber nach.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:06 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ja, klar, jetzt habe ich es. Natürlich ist eine abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge immer kompakt.
Dann habe ich den Beweis jetzt und schreibe ihn noch einmal auf.
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Marcel!
So, betrachten wir also deine Situation.
Zu zeigen ist, dass [mm] $\{t\, : \, |f(t)| \ge \varepsilon\}$ [/mm] kompakt ist. Da diese Menge abgeschlossen ist (als Urbild der abgeschlossenen Menge [mm] $[\varepsilon,+\infty[$ [/mm] unter der stetigen Abbildung $|f|$), genügt es zu zeigen, dass sie eine Teilmenge einer kompakten Menge ist.
Nach Voraussetzung gibt es ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $\Vert [/mm] f - [mm] f_{n_0} \Vert_{\infty} [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Daher gilt:
[mm] $\{t\, : \, |f(t)| \ge \varepsilon\} \subset \{t \, : \, |f(t) - f_{n_0}(t)| + |f_{n_0}(t)| \ge \varepsilon\} \subset \{t \, : \, |f_{n_0}(t)| \ge \varepsilon - \Vert f - f_{n_0} \Vert\}$,
[/mm]
und die letzte Menge ist nach Voraussetzung kompakt.
Eine schwere Geburt... <- Mist, damit spaßt man nicht...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:44 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Marcel |
Lieber Stefan!
> Lieber Marcel!
>
> So, betrachten wir also deine Situation.
>
> Zu zeigen ist, dass [mm]\{t\, : \, |f(t)| \ge \varepsilon\}[/mm]
> kompakt ist. Da diese Menge abgeschlossen ist (als Urbild
> der abgeschlossenen Menge [mm][t,+\infty[[/mm]
Vermutlich meintest du die Menge [mm] $[\varepsilon,\;+\infty[$, [/mm] stimmt's? Aber eigentlich müßte da dann doch eigentlich eher stehen:
Als Urbild der abgeschlossenen Menge [mm] $A:=]-\infty,-\varepsilon] \cup [\varepsilon,\;+\infty[$ [/mm] (die Menge $A$ ist als endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen abgeschlossen), oder? Aber das ändert an der Vorgehensweise der Argumentation ja nichts !
> unter der stetigen
> Abbildung [mm]f[/mm]), genügt es zu zeigen, dass sie eine Teilmenge
> einer kompakten Menge ist.
>
> Nach Voraussetzung gibt es ein [mm]n_0 \in \IN[/mm] mit
>
> [mm]\Vert f - f_{n_0} \Vert_{\infty} < \varepsilon[/mm].
>
> Daher gilt:
>
> [mm]\{t\, : \, |f(t)| \ge \varepsilon\} \subset \{t \, : \, |f(t) - f_{n_0}(t)| + |f_{n_0}(t)| \ge \varepsilon\} \subset \{t \, : \, |f_{n_0}(t)| \ge \varepsilon - \Vert f - f_{n_0} \Vert\}[/mm],
>
> und die letzte Menge ist nach Voraussetzung kompakt.
Ohja, auch eigentlich gar nicht so schwer, wenn man an das denkt, was du hier nochmal erwähnst.
> Eine schwere Geburt... <- Mist, damit spaßt man nicht...
Naja, laut Buch sollte man "leicht" einsehen, dass [mm] $C_0(T)$ [/mm] abgeschlossen in [mm] $C^b(T)$ [/mm] ist. Naja, wenn man die richtigen Kniffe sieht, ist's ja auch "leicht". Aber manchmal steht man echt auf dem Schlauch (wie ich z.B. bei dieser "Einsicht").
Nochmals vielen Dank für eure Hilfe, Stefan und Astrid !
Liebe Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:23 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Marcel |
Lieber Stefan!
> Lieber Marcel!
>
> > Vermutlich meintest du die Menge [mm][\varepsilon,\;+\infty[[/mm],
> > stimmt's?
>
> Ja, da hatte ich mich verschrieben.
>
> > Aber eigentlich müßte da dann doch eigentlich
> > eher stehen:
> > Als Urbild der abgeschlossenen Menge
> > [mm]A:=]-\infty,-\varepsilon] \cup [\varepsilon,\;+\infty[[/mm] (die
> > Menge [mm]A[/mm] ist als endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen
> > abgeschlossen), oder? Aber das ändert an der Vorgehensweise
> > der Argumentation ja nichts !
>
> Nein, ich meinte schon die von mir genannte Menge, aber ich
> hatte einfach den Betrag vergessen. Die Funktion [mm]|f|[/mm] ist ja
> auch stetig,
Ja, klar !
> dann wird es noch einfacher aufzuschreiben.
Achso , dann ist mir jetzt auch wirklich alles klar, denke ich. Danke nochmal !
Liebe Grüße,
Marcel
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![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
-Gefühl samt Revisionen gelöscht. ![[verlegen]](/images/smileys/verlegen.gif "[verlegen]"){kind=small}
