C 2 < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Für jede komplexe zahl z= a + ib gibt es eine Zahl w = c + id mit [mm] w^2 [/mm] =z. Beweise. |
Hi,
das heißt, dass man aus kompl. Zahlen die Wurzel ziehen kann. Aber wie beweise ich das nun?
LG
|
|
| |
|
> Für jede komplexe zahl z= a + ib gibt es eine Zahl w = c +
> id mit [mm]w^2[/mm] =z. Beweise.
> Hi,
>
> das heißt, dass man aus kompl. Zahlen die Wurzel ziehen
> kann. Aber wie beweise ich das nun?
Hallo,
indem Du eine komplexe Zahl w angibst, die quadriert a+ib ergibt.
Du könntest sie finden, indem Du Dir mal a + [mm] ib=(c+id)^2 [/mm] genauer anschaust.
LG Angela
>
> LG
|
|
|
| |
|
Soll ich Zahlen einsetzen oder versuchen die Gleichung zu lösen?
Uns wurde gesagt, dass das etwas mit dem Betrag zu tun hat, ich habe aber 0 Ahnung wie ich das machen soll.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 So 04.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit Zahlen einsetzen kannst du es sicher nicht für alle zeigen!
also allgemein!
hattet ihr schon die Darstellung von z=a+ib [mm] =r*e^{i\phi} [/mm] r=|w| [mm] cos\phi=a/r sin\phi=b/r [/mm] oder [mm] w=r*(cos\phi+i*sin\phi)?
[/mm]
sonst musst du die Gl. [mm] (c+id)^2=a+ib [/mm] lösen, wobei du c,d aus a,b berechnen musst.
Denk dran= wenn 2 komplexe zahlen gleich sind muss ihr realteil gkeich sein und ihr Imaginärteil! Du hast also 2 Gl. für die 2 Unbekannten c und d
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 So 04.11.2012 | | Autor: | fred97 |
a + $ [mm] ib=(c+id)^2 [/mm] $ [mm] \gdw [/mm] a+ib = [mm] c^2-d^2+2icd \gdw a=c^2-d^2 [/mm] und b=2cd.
Hilft das ?
FRED
|
|
|
| |
|
Hmm, also a = [mm] c^2 [/mm] - [mm] d^2, [/mm] da kann man ja die Wurzel ziehen, aber 2cd? muss ich jetzt beides gleichsetzen :S
|
|
|
| |
|
Hallo xxela89xx,
> Hmm, also a = [mm]c^2[/mm] - [mm]d^2,[/mm] da kann man ja die Wurzel ziehen,
> aber 2cd? muss ich jetzt beides gleichsetzen :S
Es ist das Gleichungssystem
[mm]a=c^{2}-d^{2}[/mm]
[mm]b=2*c*d[/mm]
nach c,d aufzulösen.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo xxela89xx,
> Das kann ich nicht :´(
Löse die Gleichung
[mm]b=2*c*d[/mm]
nach einer Variablen auf und
ersetze sie in der Gleichung
[mm]a=c^{2}-d^{2}[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
b = 2cd
b/d = 2c
2d/b = c
in a = [mm] c^2 -d^2 [/mm]
a= [mm] (2d/b)^2 -d^2
[/mm]
a = [mm] 4d^2 [/mm] / [mm] b^2 -d^2 [/mm]
So? Irgendwie habe ich das Gefühl, dass das falsch ist
|
|
|
| |
|
Hallo xxela89xx,
> b = 2cd
> b/d = 2c
> 2d/b = c
>
> in a = [mm]c^2 -d^2[/mm]
> a= [mm](2d/b)^2 -d^2[/mm]
Hier musst Du doch [mm]c=\bruch{b}{2d}[/mm] einsetzen.
Dann lautet die Gleichung
[mm]a= \blue{(\bruch{b}{2d})}^2 -d^2[/mm]
> a = [mm]4d^2[/mm] / [mm]b^2 -d^2[/mm]
>
> So? Irgendwie habe ich das Gefühl, dass das falsch ist
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Aber habe ich jetzt gezeigt, dass der Real und der Imaginärteil gleich sind? Ich sehe das nämlich nicht...
|
|
|
| |
|
Hallo xxela89xx,
> Aber habe ich jetzt gezeigt, dass der Real und der
> Imaginärteil gleich sind? Ich sehe das nämlich nicht...
Nein, das hast Du noch nicht gezeigt.
Zunächst mußt Du die Lösungen für d bestimmen.
Dabei muss sich unter den Lösungen mindestens
eine reelle Lösung für d befinden.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Ist es nicht egal was d ist? Das wird doch eh quadriert, also kann es auch negativ sein. Oder muss man das irgendwie ausrechnen?
|
|
|
| |
|
Hallo xxela89xx,
> Ist es nicht egal was d ist? Das wird doch eh quadriert,
Nein, das ist nicht egal was d ist.
> also kann es auch negativ sein. Oder muss man das irgendwie
> ausrechnen?
Ja, das d muss ausgerechnet werden.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Dann versuche ich das mal:
a= [mm] \bruch{4d^2}{b^2-d^2} |\wurzel{} [/mm]
[mm] \wurzel{a}= \bruch{2d}{b-d} [/mm]
[mm] \wurzel{a} [/mm] b-d = 2d | :2
[mm] \bruch{\wurzel{a}b-d}{2} [/mm] = d
Irgendwie sieht das komisch aus...
|
|
|
| |
|
Hallo xxela89xx,
> Dann versuche ich das mal:
>
> a= [mm]\bruch{4d^2}{b^2-d^2} |\wurzel{}[/mm]
>
Das stimmt nicht.
> [mm]\wurzel{a}= \bruch{2d}{b-d}[/mm]
>
Dieser Schritt ist schon falsch.
Multipliziere zunächst die Gleichung
[mm]a=\bruch{b^{2}}{4d^{2}}-d^{2}[/mm]
mit [mm]d^{2}[/mm] durch.
Bringe dann alles auf eine Seite.
Es ergibt sich eine biquadratische Gleichung in d.
> [mm]\wurzel{a}[/mm] b-d = 2d | :2
>
> [mm]\bruch{\wurzel{a}b-d}{2}[/mm] = d
>
> Irgendwie sieht das komisch aus...
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Ok, also wenn ich das mit [mm] (:d^2) [/mm] multipliziere erhalte ich folgendes, wenn ich es richtig gemacht habe...:
[mm] \bruch{a}{d^2} [/mm] = [mm] \bruch{4d^2}{b^2} [/mm] * [mm] d^2 [/mm] -1
0= [mm] \bruch{4d^4}{b^2a} *d^2
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo xxela89xx,
> Ok, also wenn ich das mit [mm](:d^2)[/mm] multipliziere erhalte ich
Multiplizieren heisst nicht teilen.
> folgendes, wenn ich es richtig gemacht habe...:
> [mm]\bruch{a}{d^2}[/mm] = [mm]\bruch{4d^2}{b^2}[/mm] * [mm]d^2[/mm] -1
>
> 0= [mm]\bruch{4d^4}{b^2a} *d^2[/mm]
Die Gleichung lautet doch:
[mm] a=\bruch{b^{2}}{4d^{2}}-d^{2}[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Ich weiß trtozdem nicht, wie ich das rechnen muss...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 So 04.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Ich weiß trtozdem nicht, wie ich das rechnen muss...
wir hatten:
$ [mm] a=\bruch{b^{2}}{4d^{2}}-d^{2} [/mm] $
Nun kam der Tipp, mit d² durchzumultiplizieren, das ergibt:
[mm] ad^{2}=\frac{b^{2}}{4}-d^{4}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow d^{4}+ad^{2}-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=0
[/mm]
Substituiere nun x=d², dann hast du
[mm] x^{2}+ax-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=0
[/mm]
Löse dieses nun mit einer Lösungsformel und zeige, dass du bei mindestens einer Lösung für x die Rücksubstitution nach d machen kannst, du also aus mindestens einer "x-Lösung" noch die Wurzel ziehen kannst.
Marius
|
|
|
| |
|
funktioniert das nicht für alle x aus R?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 So 04.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
> funktioniert das nicht für alle x aus R?
Was genau? Da Wurzelziehen jedenfalls nicht, das geht nur, wenn x nicht negativ ist.
Marius
|
|
|
| |
|
> funktioniert das nicht für alle x aus R?
Hallo,
was jetzt? Das Wurzelziehen?
Du hast im Idealfall - ich hab' den Thread nicht komplett gelesen - inzwischen gezeigt, daß aus jeder Zahl [mm] x\in \IC [/mm] die Wurzel ziehen kann, bzw. für jedes [mm] x\in \IC [/mm] ein [mm] w\in\IC [/mm] findet mit [mm] w^2=x.
[/mm]
Die reellen Zahlen sind eine Teilmenge der komplexen, also kann man auch aus jeder reellen Zahl die Wurzel ziehen - sofern man in [mm] \IC [/mm] rechnet.
Z.B. hat [mm] w^2=-5 [/mm] die beiden Lösungen [mm] w_1=\wurzel{5}i [/mm] und [mm] w_2=-\wurzel{5}i.
[/mm]
Allerdings findest Du keine reelle Zahl w, welche die Gleichung löst.
Das sollte nichts Neues für Dich sein.
LG Angela
|
|
|
| |
|
Kann mir jmd den nächsten Schritt zeigen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 So 04.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Kann mir jmd den nächsten Schritt zeigen?
Das ist in der anderen Antwort von mir in dieser Diskussion geschehen.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 So 04.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> b = 2cd
[mm] $$\stackrel{d \not=0}{\Longleftrightarrow}$$
[/mm]
> b/d = 2c
[mm] $$\gdw$$
[/mm]
> 2d/b = c
[mm] $$c=\frac{b}{2d}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
