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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 So 20.01.2008 | | Autor: | mueller |
| Aufgabe | Eine berühmte unendliche Menge ist die Cantor Menge: Aus dem Einheitsintervall I0:=[0,1] entferne in einem ersten Schritt das mittlere offene Interfall ]1/3, 2/3[, es ebtsteht die Menge I1= [0, 1/3] [mm] \cup [/mm] [2/3,1]. Aus den beiden abgeschlossenen Interfallen von I1 entferne die jeweils mitttleren offenen Intervalle ]1/9, 2/9[ und ]7/9, 8/9[. Es entsteht die Menge I2:=[0,1/9] [mm] \cup [/mm] [2/9, 3/9] [mm] \cup [/mm] [6/9, 7/9] [mm] \cup [/mm] [8/9, 1]. Fährt man auf diese Weise fort, so erhält man die Folge von immer kleineren kompakten Mengen (In) n Element [mm] \IN. [/mm] Die Cantor-Menge ist definiert als
[mm] C:=\bigcap_{n=o}^{\infty} [/mm] In
a) Zeigen Sie: Die Cantor-Menge ist nicht leer, kompakt. Die Menge der Endpunkte der herausgenommenen Intervalle ist abzählbar.
b) Zeigen Sie: Die Cantor-Menge hat keine "Länge". Hinweis: Berechen Sie die Gesamtlänge der heraugenommenen Intervalle.
c) Zeigen Sie: Die Cantormenge ist überabzählbar (Hinweis: Beschreiben Sie die Punkte durch ihre driadische Entwicklung (analog der Dezimalbruchentwicklung, aber zur Basis 3) charakterisieren Sie die Punkte, die herausgenommen wurden und damit die in der Cantormenge verbleibenden Punkte.
Auch überabzählbare Teilmengen von [mm] \IR [/mm] können also die Länge 0 haben.
d) Betrachten Sie den Teil der Cantormenge in dem Intervall [0, 1/3] (in dedanken) mit dem Vergrößerungsglas, sodass dieses Intervall wieder auf die Länge eins vergrößert wird. Was fällt auf? |
Hallo,
ich hab hier eine Aufgabe und ich muss gestehen, ich hab keine Ahnung, in meinem Mathebuch Lothar Papula Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1-3 hab ich nix zum Thema Cantor-Menge gefunden.
Kann mir jemand helfen? Sind das klassische Beweise, die man nachlesen kann oder muss man sich diese Beweise erst herleiten?
Danke und ein schönes Rest-Wochenende
Ps.:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:25 Mo 21.01.2008 | | Autor: | SEcki |
> a) Zeigen Sie: Die Cantor-Menge ist nicht leer, kompakt.
> Die Menge der Endpunkte der herausgenommenen Intervalle ist
> abzählbar.
Nicht leer: findest du eine Zahl die, immer drin ist?
> b) Zeigen Sie: Die Cantor-Menge hat keine "Länge".
> Hinweis: Berechen Sie die Gesamtlänge der heraugenommenen
> Intervalle.
Die Lang ist das erste Intervall, das du herausnimmst? Wie lang die beiden zusammen die du herausnimmst? Wie lange wenn du das noch einmal mit den vier Intervallen dann machst? Du nimmst ein Intervall und nimmst das mittlere Drittel heraus. Ideen jetzt?
> c) Zeigen Sie: Die Cantormenge ist überabzählbar (Hinweis:
> Beschreiben Sie die Punkte durch ihre driadische
> Entwicklung (analog der Dezimalbruchentwicklung, aber zur
> Basis 3) charakterisieren Sie die Punkte, die
> herausgenommen wurden und damit die in der Cantormenge
> verbleibenden Punkte.
Der Hinweis hilft doch, oder? Was bereitet dir Probleme?
> Auch überabzählbare Teilmengen von [mm]\IR[/mm] können also die
> Länge 0 haben.
> d) Betrachten Sie den Teil der Cantormenge in dem
> Intervall [0, 1/3] (in dedanken) mit dem
> Vergrößerungsglas, sodass dieses Intervall wieder auf die
> Länge eins vergrößert wird. Was fällt auf?
Nimm mal nach dem zweiten Schritt das Vergrößerugsglas - was erhälst du? Alternativ: multipliziere mit 3 in der Darstellung von c).
> ich hab hier eine Aufgabe und ich muss gestehen, ich hab
> keine Ahnung, in meinem Mathebuch Lothar Papula Mathematik
> für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1-3 hab ich
> nix zum Thema Cantor-Menge gefunden.
He - und? Nur wiel es nicht in deinem Buch steht, kann es das ja trotzdem geben.  Es gibt andere Bücher, zB Königsberger Analysis I, wo diese Menge drinsteht.
SEcki
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