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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Mi 12.01.2005 | | Autor: | xsjani |
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Auf einer Borel-Algebra von [0,1] [mm] \subseteq \IR [/mm] geht es um ein Wahrscheinlichkeitsmaß P, daß von der Gleichverteilung induziert wird.
C [mm] \subseteq [/mm] [0,1) sei Cantor Menge.
(a) Nun ist zu zeigen, daß P(C) = 0
(b) und es ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q auf Bor [(0,1)] anzugeben mit Q(C) = 1.
Kann das jemand?
Danke.
Juliane
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Do 13.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Juliane!
Zunächst mal zum Nachweis, dass das Lebesgue-Maß (das ist das von der Gleichverteilung induzierte Maß) Null ist:
Zur Bezeichnung:
Wir nehmen an, dass für ein $n [mm] \ge [/mm] 0$ schon die [mm] $2^{n+1}-1$ [/mm] Intervalle [mm] $I_{m,n}$ [/mm] $(0 [mm] \le [/mm] m [mm] \le n,\, k=1,\ldots,2^m)$ [/mm] schon so definiert seien, dass gilt:
$[0,1] [mm] \setminus \bigcup_{{0 \le m \le n} \atop {1 \le k \le 2^m}} I_{m,k} [/mm] = [mm] \bigcup\limits_{j=1}^{2^{n+1}} K_{n,j}$
[/mm]
mit disjunkten, abgeschlossenen Intervallen [mm] $K_{n,j}$ $(j=1,\ldots,2^{n+1})$, [/mm] die alle die Länge [mm] $3^{-n-1}$ [/mm] haben. Dabei denken wir uns die [mm] $K_{n,j}$ [/mm] numeriert im Sinne wachsender linker Eckpunkte. Ist [mm] $K_{n,j} [/mm] = [mm] [\alpha_{n,j}, \alpha_{n,j} [/mm] + [mm] 3^{-n-1}]$, [/mm] so definieren wir für [mm] $j=1,\ldots,2^{n+1}$:
[/mm]
[mm] $I_{n+1,j}:= ]\alpha_{n,j} [/mm] + [mm] 3^{-n-2},\alpha_{n,j} [/mm] + 2 [mm] \cdot 3^{-n-2}[$,
[/mm]
[mm] $K_{n+1,2j-1}:= [\alpha_{n,j},\alpha_{n,j} [/mm] + [mm] 3^{-n-2}]$,
[/mm]
[mm] $K_{n+1,2j}:=[\alpha_{n,j} [/mm] + [mm] 2\cdot 3^{-n-2},\alpha_{n,j} [/mm] + [mm] 3^{-n-1}]$.
[/mm]
Damit wird
$C = [0,1] [mm] \setminus \bigcup\limits_{n=0}^{\infty} \bigcup\limits_{j=1}^{2^n} I_{n,j}$
[/mm]
die Cantor-Menge (das Cantorsche Diskontinuum).
Man errechnet nun leicht:
[mm] $\lambda(C) [/mm] = 1 - [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} \sum\limits_{j=1}^{2^n} \lambda(I_{n,j}) [/mm] = 1 - [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^n \cdot 3^{-n-1} [/mm] = 1 - [mm] \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} [/mm] = 0$.
Für [mm] $Q:=\delta_0$ [/mm] (das Dirac-Maß mit Schwerpunkt in $0$) gilt natürlich:
$Q(C)=1$.
Ob das mal so gemeint war?  Egal, Aufgabe trivialisiert und dann gelöst. ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
Liebe Grüße
Julius
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