Cantorscher Durchschnittssatz < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Do 01.11.2012 | | Autor: | Pauli85 |
| Aufgabe | Cantor’scher Durchschnittssatz: Gegeben seien ein
Hausdorffraum (M, [mm] \mathcal{T}) [/mm] und eine Familie von kompakten Teilmengen [mm] {K_{i} : i \in I}, [/mm] wobei
I eine beliebige Indexmenge bezeichne. Ist [mm] \bigcap_{i \in I}^{} K_{i} [/mm] = [mm] \emptyset, [/mm] dann gibt es endlich viele Indizes [mm] {i_{1}, ..., i_{N}} \subset [/mm] I, so dass bereits [mm] \bigcap_{k = 1}^{N} K_{i}_{k} [/mm] = [mm] \emptyset. [/mm] |
Hallo,
ich wollte wissen, ob mein Beweis des obigen Satzes richtig ist. Ich bin mir an einigen Stellen noch unsicher. Hier ist der Beweis:
Wenn { [mm] K_{i} [/mm] : i [mm] \in [/mm] I } eine Familie von kompakten Teilmengen ist, dann ist das Komplement { [mm] (K_{i})^{c} [/mm] : i [mm] \in [/mm] I } eine Familie von Teilmengen offener Überdeckungen.
Die Vereinigung dieser offenen Überdeckungen ist ganz M, also: [mm] \bigcup_{i \in I}^{} (K_{i})^{c} [/mm] = M. Nach der Definition der Kompaktheit lässt sich jede offene Überdeckung auf eine endliche Teilüberdeckung reduzieren. Das heißt, es existieren endliche [mm] {i_{1}, ..., i_{N}} \in [/mm] I für die gilt: [mm] \bigcup_{k = 1}^{N} (K_{i}_{k})^{c} [/mm] = M. Wenn man nun das Komplement dieser Gleichung bildet erhält man: [mm] (\bigcup_{k = 1}^{N} (K_{i}_{k})^{c})^{c} [/mm] = [mm] M^{c} \gdw \bigcap_{k = 1}^{N} K_{i}_{k} [/mm] = [mm] \emptyset \Box
[/mm]
Gilt denn überhaupt: [mm] \bigcup_{i \in I}^{} (K_{i})^{c} [/mm] = M ?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Do 01.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Cantor’scher Durchschnittssatz: Gegeben seien ein
> Hausdorffraum (M, [mm] \mathcal{T})[/mm] und eine Familie von
> kompakten Teilmengen [mm]{K_{i} : i \in I},[/mm] wobei
> I eine beliebige Indexmenge bezeichne. Ist [mm]\bigcap_{i \in I}^{} K_{i}[/mm]
> = [mm]\emptyset,[/mm] dann gibt es endlich viele Indizes [mm]{i_{1}, ..., i_{N}} \subset[/mm]
> I, so dass bereits [mm]\bigcap_{k = 1}^{N} K_{i}_{k}[/mm] =
> [mm]\emptyset.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Hallo,
>
> ich wollte wissen, ob mein Beweis des obigen Satzes richtig
> ist. Ich bin mir an einigen Stellen noch unsicher. Hier ist
> der Beweis:
>
> Wenn { [mm]K_{i}[/mm] : i [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
I } eine Familie von kompakten
> Teilmengen ist, dann ist das Komplement { [mm](K_{i})^{c}[/mm] : i
> [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
I } eine Familie von Teilmengen offener
> Überdeckungen.
Nein, dann ist { [mm](K_{i})^{c}[/mm] : i [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
I } eine Familie offener Mengen.
> Die Vereinigung dieser offenen Überdeckungen ist ganz M,
> also: [mm]\bigcup_{i \in I}^{} (K_{i})^{c}[/mm] = M. Nach der
> Definition der Kompaktheit lässt sich jede offene
> Überdeckung auf eine endliche Teilüberdeckung reduzieren.
> Das heißt, es existieren endliche [mm]{i_{1}, ..., i_{N}} \in[/mm]
> I für die gilt: [mm]\bigcup_{k = 1}^{N} (K_{i}_{k})^{c}[/mm] = M.
Das gilt nur, wenn M kompakt ist ! Davon steht aber oben nichts. Oder hast Du vergessen, es zu erwähnen ?
> Wenn man nun das Komplement dieser Gleichung bildet erhält
> man: [mm](\bigcup_{k = 1}^{N} (K_{i}_{k})^{c})^{c}[/mm] = [mm]M^{c} \gdw \bigcap_{k = 1}^{N} K_{i}_{k}[/mm]
> = [mm]\emptyset \Box[/mm]
>
> Gilt denn überhaupt: [mm]\bigcup_{i \in I}^{} (K_{i})^{c}[/mm] = M
> ?
Ja, das gilt.
Dein Bewis ist O.K., wenn M kompakt ist.
FRED
>
> Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Do 01.11.2012 | | Autor: | Pauli85 |
Verflixt, über die Kompaktheit von M ist nichts angegeben.
Würde es auf die Art meines Beweises eine Alernative geben, wenn M nicht kompakt ist? Oder würde ich nicht drum herum kommen einen komplett anderen Weg einzuschlagen?
Danke & Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Do 01.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Pauli85,
> Würde es auf die Art meines Beweises eine Alernative
> geben, wenn M nicht kompakt ist? Oder würde ich nicht drum
> herum kommen einen komplett anderen Weg einzuschlagen?
Du kannst genauso beginnen:
[mm] $((K_i)^c)_{i\in I}$ [/mm] bildet eine offene (warum?) Überdeckung von M und damit insbesondere eine offene Überdeckung von [mm] $K_{i_1}$ [/mm] für alle [mm] $i_1\in [/mm] I$ (nicht im Sinne [mm] $\bigcup_{i\in I}(K_i)^c=K_{i_1}$, [/mm] sondern im Sinne [mm] $\bigcup_{i\in I}(K_i)^c\supseteq K_{i_1}$)
[/mm]
Wir fixieren so ein beliebiges [mm] $i_1\in [/mm] I$ (Warum existiert es? D.h. warum kann nicht [mm] $I=\emptyset$ [/mm] gelten?)
Die Kompaktheit von [mm] $K_{i_1}$ [/mm] liefert [mm] $i_2,\ldots,i_N\in [/mm] I$ mit...
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Sa 03.11.2012 | | Autor: | Pauli85 |
> [mm]((K_i)^c)_{i\in I}[/mm] bildet eine offene (warum?) Überdeckung von M
Da mind. 2 [mm] K_{i}'s [/mm] disjunkt sind, muss die Vereinigung der Komplemente ganz M sein. Da jede kompakte Teilmenge in einem Hausdorffraum abgeschlossen ist (ein Satz aus meinem Skript) muss das Komplement ja offen sein. Ich kann es leider nur in Worten erklären.
> und damit insbesondere eine offene Überdeckung von
> [mm]K_{i_1}[/mm] für alle [mm]i_1\in I[/mm] (nicht im Sinne [mm]\bigcup_{i\in I}(K_i)^c=K_{i_1}[/mm],
> sondern im Sinne [mm]\bigcup_{i\in I}(K_i)^c\supseteq K_{i_1}[/mm])
Okay, verstanden.
> Wir fixieren so ein beliebiges [mm]i_1\in I[/mm] (Warum existiert
> es? D.h. warum kann nicht [mm]I=\emptyset[/mm] gelten?)
Das geht aus der Vorraussetzung der Aufgabenstellung hervor, oder nicht?
> Die Kompaktheit von [mm]K_{i_1}[/mm] liefert [mm]i_2,\ldots,i_N\in I[/mm] mit...
Die Kompaktheit von [mm] K_{i_1} [/mm] liefert [mm] i_2,\ldots,i_N\in [/mm] I mit [mm] \bigcup_{k=2}^{N} (K_{i_k})^{c} \supseteq K_{i_1}, [/mm] da sich jede offene Überdeckung von K auf eine endliche Teilüberdeckung reduzieren lässt.
Jetzt muss ich also noch zeigen, dass [mm] \bigcup_{k=2}^{N} (K_{i_k})^{c} [/mm] = M gilt, damit ich wie in einem ersten Versuch das Komplement bilden kann, oder? Damit [mm] \bigcup_{k=2}^{N} (K_{i_k})^{c} [/mm] = M gilt müssten wieder mind. 2 [mm] K_{i_k} [/mm] disjunkt sein. Aber wie kann ich das zeigen? Über die weiß ich ja garnichts. Oder bin ich wieder auf dem falschen Dampfer?
Edit: Ich könnte doch auch sagen, dass ich mir irgendein [mm] K_{i} [/mm] nehme, welches nicht in [mm] \bigcup_{k=2}^{N} (K_{i_k})^{c} [/mm] liegt und das zu irgendeinem dieser [mm] K_{i_k}'s [/mm] disjunkt ist. Dieses stecke ich dann mit in die Vereinigung. Diese wäre immer noch endlich und da dort dann auf jeden Fall mind. 2 [mm] K_{i_k}'s [/mm] drin sind, die disjunkt sind, ist die Vereinigung der Komplemente dann ganz M. Habe ich da richtig gedacht?
Vielen Dank & Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Sa 03.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > [mm]((K_i)^c)_{i\in I}[/mm] bildet eine offene (warum?) Überdeckung
> von M
>
> Da mind. 2 [mm]K_{i}'s[/mm] disjunkt sind, muss die Vereinigung der
> Komplemente ganz M sein.
Was meinst du mit mindestens 2 [mm] $K_i$ [/mm] disjunkt? Wenn schon zwei der [mm] $K_i$ [/mm] disjunkt wären, wäre nichts mehr zu zeigen... 
> Da jede kompakte Teilmenge in
> einem Hausdorffraum abgeschlossen ist (ein Satz aus meinem
> Skript) muss das Komplement ja offen sein. Ich kann es
> leider nur in Worten erklären.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau das meinte ich!
> > und damit insbesondere eine offene Überdeckung von
> > [mm]K_{i_1}[/mm] für alle [mm]i_1\in I[/mm] (nicht im Sinne [mm]\bigcup_{i\in I}(K_i)^c=K_{i_1}[/mm],
> > sondern im Sinne [mm]\bigcup_{i\in I}(K_i)^c\supseteq K_{i_1}[/mm])
>
> Okay, verstanden.
>
> > Wir fixieren so ein beliebiges [mm]i_1\in I[/mm] (Warum existiert
> > es? D.h. warum kann nicht [mm]I=\emptyset[/mm] gelten?)
>
> Das geht aus der Vorraussetzung der Aufgabenstellung
> hervor, oder nicht?
Ich dachte, für [mm] $I=\emptyset$ [/mm] wäre [mm] $\bigcap_{i\in I}K_i$ [/mm] die "All-Klasse" und somit nicht die leere Menge.
Jetzt ist mir aufgefallen, dass man in diesem Kontext unter [mm] $\bigcap_{i\in \emptyset}K_i$ [/mm] wohl eher die Menge M verstehen wird.
In jedem Fall: Wenn [mm] $\bigcap_{i\in\emptyset}K_i=\emptyset$ [/mm] gilt, gilt [mm] $\bigcap_{i=1}^0K_i=\emptyset$, [/mm] so dass $N=0$ das Gewünschte leistet.
Vielleicht hat der/die Aufgabensteller(in) auch einfach vergessen, [mm] $I=\emptyset$ [/mm] auszuschließen.
> > Die Kompaktheit von [mm]K_{i_1}[/mm] liefert [mm]i_2,\ldots,i_N\in I[/mm]
> mit...
>
> Die Kompaktheit von [mm]K_{i_1}[/mm] liefert [mm]i_2,\ldots,i_N\in[/mm] I mit
> [mm]\bigcup_{k=2}^{N} (K_{i_k})^{c} \supseteq K_{i_1},[/mm] da sich
> jede offene Überdeckung von K auf eine endliche
> Teilüberdeckung reduzieren lässt.
> Jetzt muss ich also noch zeigen, dass [mm]\bigcup_{k=2}^{N} (K_{i_k})^{c}[/mm]
> = M gilt, damit ich wie in einem ersten Versuch das
> Komplement bilden kann, oder?
Das wird i.A. nicht der Fall sein.
> Damit [mm]\bigcup_{k=2}^{N} (K_{i_k})^{c}[/mm]
> = M gilt müssten wieder mind. 2 [mm]K_{i_k}[/mm] disjunkt sein.
Nein. Z.B. unter den Mengen [mm] $\{1,2\}$, $\{1,3\}$, $\{2,3\}$ [/mm] sind keine zwei disjunkten Mengen, aber der Schnitt aller drei ist leer.
> Edit: Ich könnte doch auch sagen, dass ich mir irgendein
> [mm]K_{i}[/mm] nehme, welches nicht in [mm]\bigcup_{k=2}^{N} (K_{i_k})^{c}[/mm]
> liegt und das zu irgendeinem dieser [mm]K_{i_k}'s[/mm] disjunkt ist.
Warum sollte es das geben?
> Dieses stecke ich dann mit in die Vereinigung. Diese wäre
> immer noch endlich und da dort dann auf jeden Fall mind. 2
> [mm]K_{i_k}'s[/mm] drin sind, die disjunkt sind, ist die Vereinigung
> der Komplemente dann ganz M. Habe ich da richtig gedacht?
Die Idee, zu den [mm] $i_2,\ldots,i_N$ [/mm] noch einen Index dazuzunehmen, ist die Richtige!
Ich habe übrigens nicht ganz zufällig diese Elemente [mm] $i_2,\ldots,i_N$ [/mm] und ein anderes Element [mm] $i_1$ [/mm] genannt...
Es gilt [mm] $\bigcup_{k=2}^N(K_{i_k})^c\supseteq K_{i_1}$. [/mm] Folgere: [mm] $\bigcap_{k=1}^NK_{i_k}=\emptyset$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Sa 03.11.2012 | | Autor: | Pauli85 |
> > > [mm]((K_i)^c)_{i\in I}[/mm] bildet eine offene (warum?) Überdeckung
> > von M
> >
> > Da mind. 2 [mm]K_{i}'s[/mm] disjunkt sind, muss die Vereinigung der
> > Komplemente ganz M sein.
> Was meinst du mit mindestens 2 [mm]K_i[/mm] disjunkt? Wenn schon
> zwei der [mm]K_i[/mm] disjunkt wären, wäre nichts mehr zu
> zeigen...
Verzeih mir, das habe ich anders gemeint 
> Nein. Z.B. unter den Mengen [mm]\{1,2\}[/mm], [mm]\{1,3\}[/mm], [mm]\{2,3\}[/mm] sind
> keine zwei disjunkten Mengen, aber der Schnitt aller drei ist leer.
Ach natürlich! Ich habe mir das mit Kreisen aufgezeichnent und da ist es schwer genau so eine Situation zu treffen
> Die Idee, zu den [mm]i_2,\ldots,i_N[/mm] noch einen Index
> dazuzunehmen, ist die Richtige!
>
> Ich habe übrigens nicht ganz zufällig diese Elemente
> [mm]i_2,\ldots,i_N[/mm] und ein anderes Element [mm]i_1[/mm] genannt...
>
> Es gilt [mm]\bigcup_{k=2}^N(K_{i_k})^c\supseteq K_{i_1}[/mm].
> Folgere: [mm]\bigcup_{i=1}^NK_i=\emptyset[/mm].
Aus dem ersten und zweiten Satz folgere ich, dass ich [mm] i_{1} [/mm] zu der Indexmenge hinzunehmen soll. Aber bringt mir das was? [mm] \bigcup_{k=2}^N(K_{i_k})^c [/mm] liegt ja um [mm] K_{i_1} [/mm] herum, wenn ich das dann da noch reinpacke erhalte ich ja die selbe Menge.
Edit: Ich könnte schon wieder völlig falsch liegen, aber [mm] K_{i_1}^{c} [/mm] ist ja M [mm] \backslash K_{i_1}. [/mm] Also die komplette Menge M ohne das [mm] K_{i_1}. [/mm] Dafür liegt aber das [mm] K_{i_1} [/mm] in [mm] \bigcup_{k=2}^N(K_{i_k})^c [/mm] drin. Wenn ich dann also [mm] K_{i_1}^{c} [/mm] und [mm] \bigcup_{k=2}^N(K_{i_k})^c [/mm] vereinige erhalte ich die komplette Menge M? Das würde heißen: [mm] \bigcup_{k=1}^N(K_{i_k})^c [/mm] = M [mm] \gdw \bigcap_{k=1}^{N} K_{i_k} [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] Edit Ende.
[mm] \bigcup_{i=1}^NK_i=\emptyset [/mm] verstehe ich nicht so ganz. Wieso sollte denn bei der Vereinigung der [mm] K_{i}'s [/mm] die leere Menge raus kommen? Da fällt mir gerade kein konkretes Beispiel zu ein... Es sei denn N = 0, das hattest du ja oben schon einmal aufgeführt. Aber den Sinn N=0 zu wählen verstehe ich auch nicht wirklich. Dann tritt natürlich die Vereinigung nicht "in Kraft" und es muss ja [mm] \emptyset [/mm] raus kommen, so kann ich aber doch nicht beweisen.
Vielen Dank & Grüße
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![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
, da waren jede Menge Fehler in meiner letzten Antwort. Vor allem habe ich ständig [mm] $\bigcup$ [/mm] statt [mm] $\bigcap$ [/mm] geschrieben. Jetzt habe ich hoffentlich die meisten Fehler beseitigt.
